Особенности нелинейных цепей при переменных токах

Особенности нелинейных цепей при переменных токах

Наиболее существенная особенность  расчета нелинейных цепей  при переменных токах заключается в необходимости учета  в общем случае динамических свойств нелинейных элементов, т.е. их анализ следует осуществлять на основе динамических вольт-амперных, вебер-амперных, и кулон-вольтных характеристик.

Если нелинейный элемент  является безынерционным, то его характеристики в динамических и статических  режимах совпадают, что существенно  упрощает расчет. Однако на практике идеально безынерционных элементов не существует. Отнесение нелинейного элемента к классу безынерционных определяется скоростью изменения входных  воздействий: если период Т переменного воздействия достаточно мал по сравнению с постоянной времени  , характеризующей динамические свойства нелинейного элемента, последний рассматривается как безынерционный; если это не выполняется, то необходимо учитывать инерционные свойства нелинейного элемента.

 
В качестве примера можно рассмотреть  цепь на рис.1 с нелинейным резистором  (термистором), имеющим вольт-амперную характеристику (ВАХ), представленную на рис. 2, и характеризующимся постоянной времени нагрева  .

Если   , то изображающая точка    перемещается по прямой 1 и нелинейный резистор характеризуется сопротивлением       . При    изображающая точка перемещается по кривой 2, и свойства нелинейного резистора определяются сопротивлением   . Когда постоянная времени нагрева t НР одного порядка с Т, соотношения между переменными составляюшими напряжения и тока являются более сложными, определяющими сдвиг по фазе между ними.

Другой важной особенностью нелинейных элементов в цепи переменного  тока является вызываемое ими появление  высших гармоник даже при наличии в цепи только источников синусоидального напряжения и (или) тока. На этом принципе строится, например, ряд умножителей частоты, а также преобразователей формы тока или напряжения. 

 

Основные типы характеристик нелинейных элементов  в цепях переменного тока

Использование динамических характеристик нелинейных элементов  позволяет осуществлять расчет нелинейных цепей для мгновенных значений переменных, т.е. проводить принципиально ее наиболее точный и полный анализ. Однако в целом ряде случаев такой  расчет может оказаться достаточно трудоемким или избыточным по своей  глубине. Поэтому в зависимости  от цели решаемой задачи, а также  от требований к точности получаемых результатов, помимо динамической характеристики, могут использоваться нелинейные характеристики по первым гармоникам и для действующих  значений (см. табл. 1). 

 

Таблица 1. Определение основных типов характеристик нелинейных элементов

 

 

Графические методы расчета

Графические методы расчета  позволяют проводить анализ нелинейных цепей переменного тока для частных  значений параметров с использованием характеристик нелинейных элементов  для мгновенных значений, по первым гармоникам и действующим значениям (см. табл. 1). 

 

Графический метод  с использованием характеристик  для мгновенных значений

В общем случае методика анализа нелинейной цепи данным методом  включает в себя следующие этапы:

-исходя из физических соображений находят (если он не задан) закон изменения одной из величин, определяющих характеристику    нелинейного элемента;

-по нелинейной характеристике    для известного закона изменения переменной   путем графических построений определяют кривую     (или наоборот);

-с использованием полученной  зависимости    проводят анализ остальной (линейной) части цепи.

В качестве примера построим при синусоидальной ЭДС    кривую тока в цепи на рис. 3, ВАХ    диода в которой представлена  на рис. 4.

 

 

Решение

1. Строим результирующую ВАХ    цепи (см. рис. 4) согласно соотношению

2. Находя для различных  значений      с использованием полученной кривой  соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 5) кривую искомой зависимости   .

К полученному результату необходимо сделать следующий комментарий. Использование при анализе подобных цепей ВАХ идеального вентиля (обратный ток отсутствует, в проводящем направлении  падение напряжения на диоде равно  нулю) корректно при достаточно больших  значениях амплитуд приложенного к  диоду напряжения, определяющих значительное превышение током, протекающим через вентиль в прямом направлении, его обратного тока,вследствие чего последним можно пренебречь. При снижении величин напряжения, когда эти токи становятся сопоставимыми по величине, следует использовать ВАХ реального диода,представленную на рис. 4 и учитывающую наличие обратного тока.

  
Важнейшим элементом в цепях переменного  тока является катушка с ферромагнитным сердечником. В общем случае кривая зависимости    имеет вид гистерезисной петли, но, поскольку в устройствах, работающих при переменном напряжении, используются магнитные материалы с узкой петлей гистерезиса, в большинстве практических случаев допустимо при расчетах использовать основную (или начальную) кривую намагничивания. 

Условное изображение нелинейной катушки индуктивности приведено  на рис. 6. Здесь   – основной поток, замыкающийся по сердечнику,   - поток рассеяния, которому в первом приближении можно поставить в соответствие потокосцепление рассеяния   , где индуктивность рассеяния   в силу прохождения потоком    части пути по воздуху.

Для схемы на рис. 6 справедливо  уравнение

 

 

 

где   .

В общем случае в силу нелинейности зависимости    определить на основании (1) несинусоидальные зависимости    и    достаточно непросто. Вместе с тем для реальных катушек индуктивности падением напряжения   и ЭДС, обусловленной потоками рассеивания, вследствие их малости, часто можно пренебречь. При этом из (1) получаем   , откуда

 ,

где    постоянная интегрирования.

Так как характеристика    катушки (см. рис. 7) симметрична относительно начала координат, а напряжение    симметрично относительно оси абсцисс (оси времени), то кривая    также должна быть симметричной относительно последней, откуда следует, что   .

  
Находя для различных значений    с использованием кривой    соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 7) кривую зависимости   .

Анализ полученного результата позволяет сделать важный вывод: при синусоидальной форме потока напряжение    на катушке синусоидально, а протекающий через нее ток имеет явно выраженную несинусоидальную форму. Аналогично можно показать, что при синусоидальном токе поток, сцепленный с катушкой, и напряжение на ней несинусоидальны.

Для среднего значения напряжения, наведенного потоком, можно записать

Умножив (2) на коэффициент  формы, получим выражение для  действующего значения напряжения

.

В частности, если напряжение и поток синусоидальны, то

 .

Соотношение (2) является весьма важным: измеряя среднее значение напряжения, наведенного потоком, по (2) можно определить амплитуды потока   и индукции  при любой форме нелинейности катушки.

Аналогично проводится построение кривой    при синусоидальном потоке и задании зависимости    в виде петли гистерезиса. При этом следует помнить, что перемещение рабочей точки по петле осуществляется против часовой стрелки (см. рис. 8).