Определение момента инерции твердых тел

blockquote>

    Используя выражение (3.7) для и учитывая, что г, г, R=75*10^-3  и g=980,67 см/с² вычисляется момент инерции блока. 

        I_ex = 16986 г∙см² 

            Абсолютная погрешности косвенного определения  момента инерции блока I_э  в ходе эксперимента, по формуле: 

                        ∆(I_ex) = 552 г∙см² 

              Экспериментальное значение момента инерции блока: 

              I__ex = (16986 ± 552) г∙см² = (1,7 ± 0,6) × 10 ^-4 кг∙м² 
 

    Используя геометрические параметры блока, с  учетом плотности металла, из которого изготовлен блок (латунь, r = 8400 кг/м³),  рассчитать его момент инерции.

    Толщина блока в метрах                            d = 6∙10^-3м 

    Объём сплошного диска                           V_CD = π∙d∙R²

                                           V_CD = 1,06 см³ 

    Масса сплошного диска                          m_CD = p∙ V_CD

                                  m_CD = 890 г = 0,89 кг  

                                

    Момент инерции сплошного диска         I_CD = 1/2∙ m_CD∙r₂²   

                                                                        I_CD = 25031 г∙см²

    Так как оси, проходящие через центры масс вырезанных дисков, не совпадают с осью вращения всего блока, то момент инерции I_can  каждого диска находится по теореме Штейнера.

    Радиус  каждого выреза в метрах            r₂ = 30∙10^-3 м  

    Объём каждого выреза                           V_can = π∙d∙ r₂²

                                                                        V_can = 1.696∙10^-5 см³

                  

    Масса каждого вырезанного диска         m_can= p∙V_can

                                                                        m_can=142 г  = 0,142 кг         

    Момент  инерции каждого вырезанного  диска относительно его центра масс: 

    Ic=1/2∙ m_can∙ r₂²                       Ic = 639 г∙см²  
 

    r₁=40∙10^-3м       расстояние от оси вращения блока до центра масс каждого

                вырезанного диска в метрах 

    Момент  инерции каждого вырезанного  диска относительно оси вращения блока:

            I_can=Ic+ m_can∙ r₁²                         I_can = 639 г∙см² 

    Момент  инерции цилиндрического отверстия I_отв относительно оси, проходящей через  центр масс блока, определяем по формуле: 

     = 2911 г∙см²

    Момент  инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков 

            I_an= I_CD-3∙ I_can                I_an = 16298 г∙см²

    Полученные  экспериментальным и аналитическим  способами моменты инерции можно  сравнить, получив отличие между  ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

      
 
 
 
 
 
 

    5. ВЫВОДЫ

      Используя экспериментальные  данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения  t² = f(h)= 0,49∙h с². Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей. Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t² = f(h) соответствует теоретической, т.е. экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения: 
 

      

     Значение  собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента равно:

       I_ex = 1,7 кг∙м² 

     Используя геометрические параметры блока, с  учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции: 

     I_an = 1,6 кг∙м² 

     Значение  собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента, больше расчетного 

       

     Несовпадение  экспериментального результата с расчетным  можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 

    1. Что такое момент сил и момент инерции?

    Моментом  силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей  силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояние r от оси вращения до линии действия

    Момент  силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

      

    Момент  инерции характеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит  от распределения его массы относительно оси вращения.  

    Для элемента тела массой dm момент инерции dI выражается соотношением:   dI = r²dm,                                                                        

    где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

     Момент инерции  всего тела запишется в виде интеграла

    где интегрирование осуществляется по всему  телу. 

    2. Моменты каких сил действуют на блок?

                          Т₁ и Т₂ – силы натяжения нитей.

                         На блок действуют моменты сил натяжения нитей:

                         M₁= T₁R,    M₂= T₂R .

                         Вращательное движение блока описывается             уравнением:

                        Рис. 6.1 

где ε - угловое ускорение блока,   I- его момент инерции,  

             - сумма моментов сил, приложенных к блоку.

      Согласно рис.6.1 вращательное движение  блока описывается уравнением

      
 

    

3. Как рассчитать момент инерции  блока?

    Сформулировать теорему Штейнера.

       

    Момент  инерции блока рассчитывается как:

    I = I_диск – 3× I_отв

    где I_диск – момент инерции сплошного диска;                                       

               I_отв – момент инерции цилиндрического отверстия (“дырки”).  

    Момент инерции цилиндрического отверстия I_отв относительно оси, проходящей через  центр масс блока, определяем согласно теоремы Штейнера.

    Теорема Штейнера : 

      Момент инерции I относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

                            I = I₀ + ml²

          

    4.  Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

    Физические  допущения,  принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте;  погрешности измерения величин; точность вычислений.  

 

     7. ПРИЛОЖЕНИЕ 

    К работе прилагается:

• регистрационный файл - phyLab2.reg
• файл журнала измерений - Ж.лаб2.txt