Определение момента инерции твердых тел

 

Федеральное Агентство по образованию 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 

Кафедра физики 
 
 
 

ОТЧЕТ 
 

Лабораторная  работа по курсу "Общая физика" 
 
 
 
 
 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 
 
 
 
 
 
 

     Преподаватель    Студент  

     ___________ /____________. / 

     ___________200_ г.    
 
 
 
 

2009

 

        1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 

       Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного  и вращательного движений твердых  тел, экспериментальное определение  момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением. 

       2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ  ЭКСПЕРИМЕНТА 

       Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 3.1.

       На  вертикальной стойке 1 крепится массивный  блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов. За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное -  риску на корпусе среднего кронштейна.

       Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки  на лабораторном столе.

       Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением. 

       Машина  Атвуда

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       1 – стойка; 2 – блок; 3 – нить; 4 –  грузы; 5 – средний кронштейн; 6 –  фотодатчик; 7 – линейка; 8 – миллисекундомер; 9 – регулировочная опора.

       Рис. 3.1

       3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

       На  рис. 4.1 приведена схема, поясняющая характер движения грузов, а также величины и точки приложения сил. Рассмотрим движение тел в машине Атвуда, используя основные законы динамики вращательного и поступательного движений.

        Схема приложения сил 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рис. 4.1 

       Пусть основные грузы имеют массу М каждый, а перегруз массой m лежит на правом грузе (рис. 4.1). Уравнения движения грузов в проекциях на ось х запишутся следующим образом

               (4.1) 

       где а – ускорение движения грузов, Т₁ и Т₂ – соответствующие силы натяжения нитей.

       Вращательное  движение блока описывается уравнением

                 (4.2) 

       где - угловое ускорение блока, - его момент инерции, - сумма моментов сил, приложенных к блоку. 

       Согласно  рис. 4.1 сумма моментов сил равна  При движении нерастяжимой нити без скольжения по блоку имеет место равенство Здесь а - линейное ускорение точек на поверхности блока, а следовательно и самой нити, - радиус блока. Таким образом, исходная система уравнений выглядит так 

               (4.3) 

       Как следует из системы (4.3), ускорение  а есть величина постоянная в условиях постоянства масс и момента инерции. Т.е.  грузы движутся равноускоренно. Ускорение а может быть определено на основании измерения высоты , на которую опустится правый груз,  и времени его движения :

                 (4.4) 

       Подставляя  выражение (4.4) в систему (4.3) и разрешая ее относительно , получаем

              (4.5) 

       Выражение (4.5) может быть переписано в виде 

                  (4.6) 

       где - константа, зависящая от параметров экспериментальной установки. 

               (4.7) 

       Формула (4.6) показывает, что в случае адекватности рассмотренной физической модели условиям опыта экспериментальные точки, нанесенные на график в координатах  должны укладываться на прямую линию. Из наклона этой прямой может быть вычислена константа , по величине которой, в свою очередь, может быть рассчитан момент инерции блока, если другие входящие в величины известны.

 

      4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ. 

     Таблица 4.1 – результаты измерений времени прохождения груза

 

Вычисление  погрешностей прямых и косвенных  измерений

Так как  класс точности электронных часов, используемых в лабораторной работе, не указан, то за приборную погрешность принимается единица в младшем разряде часов, т.е

Чтобы вычислить случайную  погрешность измерения времени, необходимо определить коэффициент Стьюдента и среднеквадратичное отклонение.

определим коэффициент Стьюдента -

Определим среднеквадратичное отклонение:

Рассчитаем  случайные погрешности измерения времени

Рассчитаем  абсолютные погрешности измерения времени:

Найдем  абсолютные погрешности вычисления квадратов( ):

 

Построение  графиков

Метод наименьших квадратов для построения прямых по экспериментальным точкам: 

 
 
 
 
 
 
 
 

угловой коэффициент  прямой

отрезок, отсекаемый прямой от оси OY

 
 
 

Абсолютные погрешности  вычисления параметров прямой линии:

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

С использованием выражения (4.7) на стр. 7 руководства [2], предварительно определив величины, входящие в это выражение, вычисляется экспериментальный момент инерции I_ex блока.

масса каждого груза  в килограммах

масса перегруза на правом грузе в килограммах

радиус блока в  метрах

ускорение свободного падения

Аналитически момент инерции I_an блока, который является сплошным диском, получается по ф. (2.5) на стр. 3 рук. [2] с учётом следующих известных величин и формул:

 
 
 
 
 
 

плотность латуни, из которой изготовлен блок

толщина блока в  метрах

объём сплошного диска

масса блока

 
 
 
 
 

момент инерции  сплошного блока

Полученные экспериментальным  и аналитическим способами моменты  инерции I_ex и I_an можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения: