Магнитное поле

М_яяк=1-В-3 (12)

     Отметим, что эта формула справедлива  не только для квадратной рамки, но и для плоской рамки другой формы.

     Момент  сил, вращающих рамку с током, зависит от произведения силы тока I на площадь, обтекаемую током 8=лК². Это произведение, подобно электрическому моменту диполя, называют магнитным моментом р_т. Единицей магнитного момента является ампер-квадратный метр (А-м²). Магнитный момент тока есть вектор. За его направление принимают направление нормали к плоскости витка. Если п есть единичный вектор вдоль нормали,то магнитный момент тока р_т равен

Р,„ = Г5п. (13)

     Силу  тока в контуре / будем считать  неизменяющейся, и следовательно, магнитный  момент тока р,„ = 15 - постоянным. Тогда момент сил найдем как: 

 

     

 

М = р_шВ&та.

Полученную  формулу можно записать в векторной  форме, дающей и модуль, и направление  момента пары сил:

М = \р_тВ].

     В неоднородном магнитном поле линии  индукции не параллельны. Поэтому в  этом случае сила Ампера будет иметь  две составляющие: одна из них будет  растягивать виток вдоль вертикальной оси, вторая - перемещать виток вдоль  нормали.

     Общий закон, позволяющий вычислять магнитную  индукцию в каждой точке поля, создаваемого электрическим током, текущим по проводнику любой формы, пытались найти  французские ученые Жан Батист Био (1774-1862) и Феликс Савар (1791-1 841). Они  изучали магнитные поля, создаваемые  в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током  и т.д. На основании многочисленных опытов они пришли к следующим  выводам:

     а) во всех случаях индукция В магнитного поля электрического тока пропорциональна силе тока I;

     б) магнитная индукция зависит от формы и размеров проводника с током;

     

(14)

     

(15)

     в) магнитная индукция В в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводнику с током. 

     Они определили, что если магнитную стрелку, помещенную в магнитное поле, слегка отклонить от положения равновесия, она будет колебаться с периодом, зависящим от величины действующей  на стрелку пары сил. Поэтому индукция магнитного поля прямого проводника с током I ослабевает обратно пропорционально  расстоянию г от него.

     Однако  получить такой закон им не удалось. По их просьбе этой задачей занялся  известный в те времена французский  физик Пьер Симон Лаплас (1749-1827). Он учел векторный характер магнитной  индукции и предположил, что если разбить провод на малые отрезки  (II, называемые элементами тока, то каждый такой элемент должен создавать магнитную индукцию с!В, которая будет изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния (см. рис.15).

     Лаплас  обобщил результаты экспериментов  Био и Савара в виде следующего дифференциального закона, называемого  законом Био-Савара-Лапласа:

ав = к_г~[с11, г], (16)

где (И  — вектор, численно равный длине с11 элемента проводника и совпадающий по направлению с электрическим током, г — радиус-вектор, проведенный из элемента проводника с11 в рассматриваемую точку поля, /• — модуль 
радиуса-вектора г, а к, — коэффициент пропорциональности, величина которого определяется опытным путем. Из закона

Био —  Савара — Лапласа следует, что  вектор магнитной индукции ЛВ в какой-либо точке магнитного поля

направлен перпендикулярно к плоскости, в  которой лежат векторы с11 иг таким образом, что из конца вектора йВ поворот вектора с11 до совмещения с вектором г по кратчайшему пути виден происходящим против часовой стрелки (рис.16). Дальнейшие экспериментальные исследования показали, что при прочих равных условиях (т. е. при одинаковых силе тока, форме и размерах проводника) магнитная индукция зависит от свойств среды, в которой создается магнитное поле. Следовательно, коэффициент к₁ в законе Био-Савара-Лапласа должен зависеть от свойств среды. Кроме того, как всякий коэффициент пропорциональности в формуле, выражающей тот или иной физический закон, коэффициент 1<1 должен зависеть от выбора единиц измерения величин, входящих в уравнение. Если среда однородна и изотропна, то К/ можно представить в виде:

к_] = к_гц, 

где к₂ — коэффициент, зависящий только от выбора системы единиц измерения, а ц — безразмерная величина, характеризующая магнитные свойства среды и называемая относительной магнитной проницаемостью среды. Она не зависит от выбора системы единиц измерения и считается равной единице для вакуума. Таким образом, закон Био— Савара—Лапласа можно переписать в форме:

йВ^к_гц~\Л1, г]. (17)

В Международной  системе единиц СИ принимается, что

к_г=*±, (18) 47Г

где ц  —"так называемая магнитная постоянная. Поэтому

<_{а =} ИаЕ.1_г[д_з1]. (19)

4тг г' ¹ ' ¹

Такая форма записи закона Био-Савара-Лапласа  и всех вытекающих из него уравнений  электромагнитного поля называется рационализованной. Если учесть, что  модуль векторного произведения [сП,г] равен:

|[<#,г] = «Я|вт(«И,^лг)|, (20)

то численное  значение с/В вектора г/В равно:

_{Ж =} /дГ/5т(дП,г) ,

4тт  г^2 К '

Наряду  с магнитной индукцией В вводится другая векторная

характеристика  магнитного поля — напряженность  Н, связанная с В следующим соотношением:

Н = —. (22)

МоМ

при условии  однородности и изотропности среды. Как видно из формулы напряженность  магнитного поля электрического тока не зависит от свойств среды:

I г,, т  „, 1-<Я-8т[вМ,^Лг| /т>\

сШ = _г-щ\,г и ЫН = V-²—(23)

4яг -¹ 4 т-¹

    Магнитное поле часто изображают графически с  помощью линий индукции и напряженности, касательные в каждой точке которых совпадают по направлению соответственно с векторами В и Н. Сравнение векторных характеристик электростатического и магнитного полей показывает, что аналогом вектора напряженности электростатического поля Е является вектор магнитной индукции В, так как Е и В определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды, в которой создаются поля. В свою очередь аналогом вектора электрического смещения Б является вектор напряженности Н магнитного поля. 

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет найти  индукцию В магнитного поля электрического тока, текущего по проводнику конечных размеров и произвольной формы. В соответствии с принципом суперпозиции магнитная индукция В в любой точке магнитного поля проводника с током / равна векторной сумме

индукций  АВ; элементарных магнитных полей, создаваемых  всеми отдельными участками А1/ этого проводника:

В = ХЛВ,, (24)

где п - общее число участков, на которые разбит проводник.

     Неограниченно увеличивая число участков п и  переходя к пределу при п, стремящемся  к бесконечности, можно заменить стоящую в правой части уравнения, интегралом:

В=^В, (25)

1

где ЙВ — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током /, а  символ «/» означает, что интегрирование распространено на всю длину проводника /.

  Выполнить такие действия может оказаться  непростой задачей. Мы ограничимся  примерами, в которых нетрудно выполнить  интегрирование.

     Рассмотрим  магнитное поле от тонкого прямолинейного провода с током (рис.17). Элементарные поля от различных элементов тока в данном случае направлены по одной  прямой и векторное интегрирование сводится к алгебраическому интегрированию.

_{В =} Еч гМяпд (26)

^4Л,1С^Г

30 

выражению:

Чтобы вычислить интеграл, выразим сII и /• через одну независимую переменную. В качестве такой переменной

(28)

примем  угол а. Запишем очевидные соотношения:

/• = —  и Д = —~—Ла (11) 8111 а зпга

где К - длина перпендикуляра, опущенного из точки на проводник. Их подстановка  в формулу (26) приводит к

В = [зт ас!а, 4 лК^

где а.1 и а₂ - значения угла а для краиних точек проводника АС.

(29)

Проинтегрируем  это выражение. Итак, поле прямолинейного проводника с током выражается формулой:

В = ^-(со$а, - со за,). 4 жК ¹

     Если  проводник АС бесконечно длинный, то <Х1=0, а а₂=я. Тогда магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током равна:

4тг  К 
 

     Индукция  в каждой точке магнитного поля бесконечно длинного проводника с током обратно  пропорциональна кратчайшему расстоянию от этой точки до проводника. Очевидно, что магнитное поле в данном случае обладает цилиндрической симметрией, и его силовые линии представляют собой концентрические окружности.

     

(31)

     Напряженность магнитного поля прямолинейного проводника с током выражается формулой:

Н = ——— (соза, - со5сс_г), 4тг г.

для бесконечно длинного проводника:

 

2/

(32)

Я =

4 л г.

 

     Рассмотрим  два параллельных тонких бесконечно длинных проводника, расположенных  друг от друга на расстоянии Я (рис.18). Опыт показывает, что при пропускании через них электрического тока между ними возникают силы взаимодействия. Если токи в обоих проводниках направлены в одну сторону, то проводники притягиваются друг к другу, а

если направления  токов взаимно

противоположны, то проводники отталкиваются друг от друга. Ток создает вокруг себя поле В_ь в котором находится ток /?. По закону Ампера на элемент I проводника с током 1₂ 

действует сила, численно равная Р = 1_гВ_х1, где В, -магнитная индукция поля, создаваемого током /₇, идущим по первому проводнику, причем вектор В_} перпендикулярен к элементу I второго проводника. Так как индукция поля бесконечно длинного проводника определяется как

В^, (33)

то сила воздействия тока участка 1 на участок  тока 2 длиной / определяется формулой:

= (34)

4 л Я '

     На  основании формулы взаимодействия параллельных постоянных токов определяется единица силы тока в СИ - Ампер. Ампером  называется сила такого постоянного  тока, при прохождении которого по двум параллельным и прямолинейным  проводникам бесконечной длины, находящимся в вакууме на расстоянии 1 метра друг от друга, сила электромагнитного  взаимодействия между проводниками равна 2 1(Г⁷ ньютона на каждый метр длины. Этим