Классический метод. Постоянное напряжение источника

Дано: E = 150 В; E_m = 150 В; w = 7000 рад/с; y_e = 120°; L = 4 мГн; C = 5 мкФ; R₁ = 6 Ом; R₂ = 10 Ом; R₃ = 5 Ом; R₄ = 4 Ом.

Найти: u_C(t).

Классический метод. Постоянное напряжение источника.

Сопротивление последовательного соединения R₁, R₄

R₁₄ = R₁ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ом. 
 
 
 
 
 
 

Алгебраизованное  выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника

Z(p) = + + R₁₄ = .

Характеристическое уравнение Z(p) = 0,

R₃(R₂ + R₁₄)LC p² + ((R₂ + R₃ + R₁₄)L + R₂R₃R₁₄C)p + R₂(R₃ + R₁₄) = 0;

5∙(10 + 10)∙4∙10^-3∙5∙10^-6p² + ((10 + 5 + 10)∙4∙10^-3 + 10∙5∙10∙5∙10^-6)p + 10∙(5 + 10) = 0:

Корни характеристического уравнения p₁ = – 1510 с; p₂ = – 49700 с.

Свободная составляющая тока в индуктивности i_Lсв = A₁e^p1t + A₂e^p2t = A₁e^–1510t + A₂e^–49700t.

Схема до коммутации.

Начальное значение тока в ветви c индуктивностью i_L(0) = E/(R₁₄ + R₃) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Начальное значение напряжения на емкости u_C(0) = i_L(0)R₃ = 10∙5 = 50 В.

Схема после  коммутации.

Принужденная  составляющая напряжения на емкости u_Cпр = E = 150 В.

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

u_C(t) = u_Cпр + u_Cсв(t) = 150 + A₁e^–1510t + A₂e^–49700t;

= – 1510A₁e^–1510t – 49700A₂e^–49700t.

Система уравнений  для определения неизвестных  коэффициентов

u_C(0) = u_Cпр(0) + u_Cсв(0) = 150 + A₁ + A₂;

= – 1510A₁ – 49700A₂.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – i_C(0) + i_L(0) + i₂(0) = 0;

для левого контура  R₁₄i_E(0) + L – u_C(0) = E;

для верхнего контура  R₂i₂(0) – L = 0.

Исключение величин  i₂(0), : (R₁₄ + R₂)i_C(0) – R₂i_L(0) – u_C(0) = E;

(10 + 10)∙i_C(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;

Зависимые начальные  условия i_C(0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10^-6) = 1,5∙10⁶ В/с.

50 = 180 + A₁ + A₂;

1,5∙10⁶ = – 1510A₁ – 49700A₂.

Постоянные интегрирования A₁ = – 3,6 А; A₂ = 1,1 А.

Искомый переходный ток в индуктивности i_L(t) = 10 – 3,6e^–1510t + 1,1e^–49700t.

 

Классический метод. Переменное напряжение источника.

Корни характеристического уравнения аналогично p₁ = – 1510 с; p₂ = – 49700 с.

Свободная составляющая напряжения на емкости u_Cсв = A₁e^p1t + A₂e^p2t = A₁e^–1510t + A₂e^–49700t.

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

X_L = wL = 7000∙4∙10^-3 = 28 Ом; X_C = 1/(wC) = 1/(7000∙5∙10^-6) = 28,6 Ом. 
 
 
 
 

Комплексные величины:

амплитуда напряжения источника ^×_m = E_me^ye = 150e^120° В;

сопротивления параллельных соединений ветвей R₂, L и R₃, C

Z_R2L = = 1/(1/10 + 1/j28) = 8,87 + j3,17 Ом;

Z_R3C = = 1/(1/5 + 1/(– j28,6)) = 4,85 – j0,85 Ом = 4,93e ^{– j9,93°} Ом.

Схема до коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = Z_R2L + Z_R3C + R₁₄ = (8,87 + j3,17) + (4,85 – j0,85) + 10 = 23,8e ^j5,58° Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

^×_em = ^×_m/Z = 150e^120°/23,8e ^j5,58° = 6,29e ^j114,45° А;

^×_Lm = ^×_em/(jX_L/R₂ + 1) = 6,29e ^j114,45°/(j28/10 + 1) = 2,12e ^j44,11° А;

амплитуда напряжения на емкости ^×_Cm = ^×_emZ_R3C = 6,29e ^j114,45°∙4,93e ^{– j9,93°} = 31,0e ^j104,52° В;

ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0 

e(0) = E_m sin y_e = 150∙sin 120° = 129,9 В;

i_L(0) = 2,12 sin 44,11° = 1,47 А;

u_C(0) = 31,0 sin 104,52° = 30,0 В.

Cхема после коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = Z_R2L – jX_C + R₁₄ = (8,87 + j3,17) – j28,6 + 10 = 31,6e ^{– j53,34°} Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

^×_em = ^×_m/Z = 150e^120°/31,6e ^{– j53,34°} = 4,74e ^j173,43° А;

^×_Lm = ^×_em/(jX_L/R₂ + 1) = 1,74e ^j173,43°/(j28/10 + 1) = 1,59e ^j103,09° А;

амплитуда напряжения на емкости ^×_Cm = ^×_em(– jX_C) = 4,74e ^j173,43°∙28,6e ^{– j90°} = 135,4e ^j83,44° В.

Принужденная  составляющая напряжения на емкости u_Cпр(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44°).

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

u_C(t) = u_Cпр(t) + u_Cсв(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) + A₁e^–1510t + A₂e^–49700t;

= 94500 cos(7000t + 83,44°) – 1510A₁e^–1510t – 49700A₂e^–49700t.

Система уравнений  для определения неизвестных  коэффициентов

u_C(0) = u_Cпр(0) + u_Cсв(0) = 135,4 sin 83,44° + A₁ + A₂;

= 94500 cos 83,44° – 1510A₁ – 49700A₂.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – i_С(0) + i_L(0) + i₂(0) = 0;

для левого контура R₁₄i_С(0) + L – u_C(0) = e(0);

для верхнего контура  R₂i₂(0) – L = 0.

Исключение величин  i₂(0), : (R₁₄ + R₂)i_С(0) – R₂i_L(0) – u_C(0) = e(0);

(10 + 10)∙i_e(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;

Зависимые начальные условия i_С(0) = 8,73 А; = = 8,73/(5∙10^-6) = 1,75∙10⁶ В/с.

30,0 = 135,4 sin 83,44° + A₁ + A₂;

1,75∙10⁶ = 94500 cos 83,44° – 1510A₁ – 49700A₂.

Постоянные интегрирования A₁ = – 73,9 А; A₂ = – 30,7 А.

Искомое переходное напряжение на емкости u_C(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) – 73,9e^–1510t – 30,7e^–49700t.

 

Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения 

   
Операторный метод. Постоянное напряжение источника.

Эквивалентная операторная схема

Начальные условия  

Ток в цепи с  индуктивностью при t = 0: i_L(0) = E/(R₁₄ + R₃) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Напряжение на емкости при t = 0: u_C(0) = i_L(0)R₃ = 10∙5 = 50 В.

Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек

I₁₁(p)(R₁₄ + pL + 1/(pC)) – I₂₂(p)pL – I₃₃(p)(1/(pC)) = – E(p) – Li_L(0) + u_C(0)/p;

– I₁₁(p)pL + I₂₂(p)(R₂ + pL) = Li_L(0);

– I₁₁(p)(1/(pC)) + I₃₃(p)(R₃ + 1/(pC)) = – u_C(0)/p.

Подстановка данных

I₁₁(p)(10 + p∙4∙10^-3 + 1/(p∙5∙10^-6)) – I₂₂(p)p∙4∙10^-3 – I₃₃(p)(1/(p∙5∙10^-6)) = – 150/p – 4∙10^-3∙i_L(0) + 50/p;

– I₁₁(p)p∙4∙10^-3 + I₂₂(p)(10 + p∙4∙10^-3) = 4∙10^-3∙i_L(0);

– I₁₁(p)(1/(p∙5∙10^-6)) + I₃₃(p)(5 + 1/(p∙5∙10^-6)) = – u_C(0)/p;

Операторные контурные  токи левого и правого контуров

I₁₁(p) = – ;

I₃₃(p) = – .

Операторный ток  в ветви с емкостью I_C(p) = I₃₃(p) – I₁₁(p) = – .

Операторное напряжение на емкости

U_C(p) = + = = = ; 

F₁(p) = u_C(0)p² + (100∙10³i_L(0) + 1,25∙10³u_C(0) + 1,5∙10⁶)p + 3,75∙10⁹;

F₃(p) = p² + 51,25∙10³p + 75∙10⁶;