Классический метод. Постоянное напряжение источника

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Августа 2011 в 18:03, лекция

Описание работы

Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника

Z(p) = + + R14 = .

Характеристическое уравнение Z(p) = 0,

Файлы: 1 файл

Электротехника.doc

— 201.00 Кб (Скачать файл)

Дано: E = 150 В; Em = 150 В; w = 7000 рад/с; ye = 120°; L = 4 мГн; C = 5 мкФ; R1 = 6 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 4 Ом.

Найти: uC(t).

Классический метод. Постоянное напряжение источника.

Сопротивление последовательного соединения R1, R4

R14 = R1 + R4 = 6 + 4 = 10 Ом. 
 
 
 
 
 
 

Алгебраизованное  выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника

Z(p) = + + R14 = .

Характеристическое уравнение Z(p) = 0,

R3(R2 + R14)LC p2 + ((R2 + R3 + R14)L + R2R3R14C)p + R2(R3 + R14) = 0;

5∙(10 + 10)∙4∙10-3∙5∙10-6p2 + ((10 + 5 + 10)∙4∙10-3 + 10∙5∙10∙5∙10-6)p + 10∙(5 + 10) = 0:

Корни характеристического уравнения p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.

Свободная составляющая тока в индуктивности iLсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.

Схема до коммутации.

Начальное значение тока в ветви c индуктивностью iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Начальное значение напряжения на емкости uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.

Схема после  коммутации.

Принужденная  составляющая напряжения на емкости uCпр = E = 150 В.

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

uC(t) = uCпр + uCсв(t) = 150 + A1e–1510t + A2e–49700t;

= – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.

Система уравнений  для определения неизвестных  коэффициентов

uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 150 + A1 + A2;

= – 1510A1 – 49700A2.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – iC(0) + iL(0) + i2(0) = 0;

для левого контура  R14iE(0) + L uC(0) = E;

для верхнего контура  R2i2(0) – L = 0.

Исключение величин  i2(0), : (R14 + R2)iC(0) – R2iL(0) – uC(0) = E;

(10 + 10)∙iC(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;

Зависимые начальные  условия iC(0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10-6) = 1,5∙106 В/с.

50 = 180 + A1 + A2;

1,5∙106 = – 1510A1 – 49700A2.

Постоянные интегрирования A1 = – 3,6 А; A2 = 1,1 А.

Искомый переходный ток в индуктивности iL(t) = 10 – 3,6e–1510t + 1,1e–49700t.

 

Классический метод. Переменное напряжение источника.

Корни характеристического уравнения аналогично p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.

Свободная составляющая напряжения на емкости uCсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

XL = wL = 7000∙4∙10-3 = 28 Ом; XC = 1/(wC) = 1/(7000∙5∙10-6) = 28,6 Ом. 
 
 
 
 

Комплексные величины:

амплитуда напряжения источника ×m = Emeye = 150e120° В;

сопротивления параллельных соединений ветвей R2, L и R3, C

ZR2L = = 1/(1/10 + 1/j28) = 8,87 + j3,17 Ом;

ZR3C = = 1/(1/5 + 1/(– j28,6)) = 4,85 – j0,85 Ом = 4,93e – j9,93° Ом.

Схема до коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2L + ZR3C + R14 = (8,87 + j3,17) + (4,85 – j0,85) + 10 = 23,8e j5,58° Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

×em = ×m/Z = 150e120°/23,8e j5,58° = 6,29e j114,45° А;

×Lm = ×em/(jXL/R2 + 1) = 6,29e j114,45°/(j28/10 + 1) = 2,12e j44,11° А;

амплитуда напряжения на емкости ×Cm = ×emZR3C = 6,29e j114,45°∙4,93e – j9,93° = 31,0e j104,52° В;

ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0 

e(0) = Em sin ye = 150∙sin 120° = 129,9 В;

iL(0) = 2,12 sin 44,11° = 1,47 А;

uC(0) = 31,0 sin 104,52° = 30,0 В.

Cхема после коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2LjXC + R14 = (8,87 + j3,17) – j28,6 + 10 = 31,6e – j53,34° Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

×em = ×m/Z = 150e120°/31,6e – j53,34° = 4,74e j173,43° А;

×Lm = ×em/(jXL/R2 + 1) = 1,74e j173,43°/(j28/10 + 1) = 1,59e j103,09° А;

амплитуда напряжения на емкости ×Cm = ×em(– jXC) = 4,74e j173,43°∙28,6e – j90° = 135,4e j83,44° В.

Принужденная  составляющая напряжения на емкости uCпр(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44°).

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

uC(t) = uCпр(t) + uCсв(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) + A1e–1510t + A2e–49700t;

= 94500 cos(7000t + 83,44°) – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.

Система уравнений  для определения неизвестных  коэффициентов

uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 135,4 sin 83,44° + A1 + A2;

= 94500 cos 83,44° – 1510A1 – 49700A2.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – iС(0) + iL(0) + i2(0) = 0;

для левого контура R14iС(0) + L uC(0) = e(0);

для верхнего контура  R2i2(0) – L = 0.

Исключение величин  i2(0), : (R14 + R2)iС(0) – R2iL(0) – uC(0) = e(0);

(10 + 10)∙ie(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;

Зависимые начальные условия iС(0) = 8,73 А; = = 8,73/(5∙10-6) = 1,75∙106 В/с.

30,0 = 135,4 sin 83,44° + A1 + A2;

1,75∙106 = 94500 cos 83,44° – 1510A1 – 49700A2.

Постоянные интегрирования A1 = – 73,9 А; A2 = – 30,7 А.

Искомое переходное напряжение на емкости uC(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) – 73,9e–1510t – 30,7e–49700t.

 

Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения 

   
Операторный метод. Постоянное напряжение источника.

Эквивалентная операторная схема

Начальные условия  

Ток в цепи с  индуктивностью при t = 0: iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Напряжение на емкости при t = 0: uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.

Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек

I11(p)(R14 + pL + 1/(pC)) – I22(p)pLI33(p)(1/(pC)) = – E(p) – LiL(0) + uC(0)/p;

– I11(p)pL + I22(p)(R2 + pL) = LiL(0);

– I11(p)(1/(pC)) + I33(p)(R3 + 1/(pC)) = – uC(0)/p.

Подстановка данных

I11(p)(10 + p∙4∙10-3 + 1/(p∙5∙10-6)) – I22(p)p∙4∙10-3 I33(p)(1/(p∙5∙10-6)) = – 150/p – 4∙10-3iL(0) + 50/p;

– I11(p)p∙4∙10-3 + I22(p)(10 + p∙4∙10-3) = 4∙10-3iL(0);

– I11(p)(1/(p∙5∙10-6)) + I33(p)(5 + 1/(p∙5∙10-6)) = – uC(0)/p;

Операторные контурные  токи левого и правого контуров

I11(p) = – ;

I33(p) = – .

Операторный ток  в ветви с емкостью IC(p) = I33(p) – I11(p) = – .

Операторное напряжение на емкости

UC(p) = + = = = ; 

F1(p) = uC(0)p2 + (100∙103iL(0) + 1,25∙103uC(0) + 1,5∙106)p + 3,75∙109;

F3(p) = p2 + 51,25∙103p + 75∙106;

Информация о работе Классический метод. Постоянное напряжение источника