Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

ВВЕДЕНИЕ

При изучении всякого круга явлений очень важно установить основные законы или принципы, с помощью которых можно объяснить все известные явления из рассматриваемого круга, а также предсказать новые. Такой подход к изучению явлений природы получил название метода принципов. Основоположником его в физике является великий Исаак Ньютон (1643—1727). Непревзойденным мастером метода принципов был и великий физик Альберт Эйнштейн (1879-1955).

Раньше других разделов физики развилась механика. Механика есть наука о движении и равновесии тел. В широком смысле  слова движение материи есть всякое изменение ее. Однако под движением в механике понимается только простейшая форма его, а именно перемещение тела относительно других тел. Принципы механики впервые были сформулированы Ньютоном в его основном сочинении «Математические начала натуральной философии», первое издание которого вышло в 1687 г. Ньютон имел, правда, много крупных предшественников: Архимеда (ок. 287—212 до н. э.), Иоганна Кеплера (1571-1630), Галилео Галилея (1564-1642), Христиана Гюйгенса (1629—1695) и др., решивших немало частных вопросов статики и отчасти динамики. Однако Ньютон был первым, кто сформулировал полную систему принципов механики и на их основе воздвиг стройное здание этой науки. Громадные достижения механики Ньютона, а также его непререкаемый научный авторитет почти на 200 лет отвлекли внимание ученых от недостатков его системы механики. Серьезное критическое отношение к механике Ньютона возникло лишь во второй половине XIX века. После Ньютона механика быстро развивалась. Однако до начала XX века это развитие шло в основном в направлении совершенствования математических методов механики и применения ее законов ко все новым и новым областям знания. Оно не затрагивало содержания основных принципов и физические представления механики Ньютона. Ничего принципиально нового в физические основы механики внесено не было вплоть до XX века, когда положение изменилось.

Идея об атомном строении вещества возникла в глубокой древности. Она в различной форме высказывалась и развивалась многими исследователями на протяжении веков. Однако до начала XX века атомная гипотеза оставалась лишь гениальной догадкой, не имевшей прямых экспериментальных доказательств. До середины XIX века конкретные представления об атомах и молекулах, а также физические теории, создавшиеся на их основе, были довольно наивными и относились скорее к области фантазии, чем к науке.

Атомы представляли себе, например, как шарики с крючками, посредством которых они сцепляются друг с другом, или как шестеренки с зубцами, с помощью которых передается вращение от одного атома к другому. Законы механики Ньютона, по существу, не использовались. Все рассуждения носили качественный характер и основывались на сомнительных предположениях.

Исключением была работа Даниила Бернулли 1738 г., давшего не только качественное, но и количественное объяснение давления газа, по существу не отличающееся от современного. Горячим сторонником и пропагандистом молекулярно-кинетической теории вещества был М. В. Ломоносов (1711-1765). На основе этой теории Ломоносов предсказал существование абсолютного нуля температуры; указал, что закон Бойля—Мариотта не может быть абсолютно точным законом — от него при достаточно больших сжатиях газов должны наблюдаться отступления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И   ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1 Первый  закон Ньютона. Масса. Сила

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в «Математических началах натуральной философии» (1687). Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются обобщением огромного числа опытных данных. Правильность этих законов (для обширного, но все же ограниченного круга явлений) подтверждается согласием с опытом получаемых с их помощью результатов.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т. е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных

 

характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10~12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил).

В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

 

1.2 Второй  закон Ньютона

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда пропорционально равнодействующей приложенных сил:

                                                     

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

                                                    

Используя выражения (1) и (2) и учитывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать

                                                             

Соотношение (3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности к — 1. Тогда  , или

                                                       

 

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике

есть величина постоянная, в выражении (4) ее можно внести под знак производной:

                                                         

Векторная величина

                                                             

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (6) в (5), получим

                                                                 

Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (7) называется также уравнением движения материальной точки.

Если на тело действует несколько сил, то в формулах (4) и (7) под F подразумевается их результирующая (векторная сумма сил). Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы: 1Н = 1кг м/с2. 

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Казалось бы, первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. В самом деле, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение  также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон, так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (7).

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил F1, F2, … , Fn, то ее ускорение

 

где .

Следовательно, если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было

 (принцип независимости действия сил).Силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Например, на рис. 1 действующая сила F = та разложена на два компонента: тангенциальную силу Fr (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу Fn (направлена по нормали к центру кривизны).

Используя выражение и , а также , можно записать

 

.

1.3 Третий  закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

                                                             ,                                                   (8)

где сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

  сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой.

Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы. Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками. Третий закон Ньютона, как впрочем  и первые два, справедлив только в инерциальных системах отсчета. Отметим также, что при движении со скоростями, сравнимыми со скоростью света, наблюдаются отступления от этого закона. Однако в

рамках классической механики он справедлив, и утверждение о его невыполнимости имеет принципиальное значение лишь для определения границ применимости механики Ньютона.

 

1.4 Сила  трения

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел относительно друг друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел, в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел, т. е. в энергию теплового движения частиц.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Это деление, впрочем, имеет условный характер. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны относительно друг друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения.

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки составляет около 0,1 мкм и менее).