Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Будем рассматривать только консервативные системы.

Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли,

П (h)=mgh.

рис 15 

Кинетическая энергия Т задается ординатой между графиком П(h) и горизонтальной прямой ЕЕ. Из приведенного графика можно найти скорость тела на высоте h:

      

откуда

      

Зависимость потенциальной энергии упругой  деформации П=кх²/2 от деформации х имеет вид параболы (рис. 16), где график заданной полной энергии тела Е — прямая, параллельная оси абсцисс х, а значения Т и П определяются так же, как на рис. 15. Из рис. 16 следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия тела возрастает, а кинетическая — уменьшается.

Из анализа  графика на рис. 16 вытекает, что при  полной энергии тела, равной Е, тело не может сместиться правее х_max и левее –х_max, так как кинетическая энергия не может быть отрицательной и, следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с координатами – х_max £ x £ х_max.

В общем  случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рис. 17). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е — заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где П(х) £ Е, т. е. в областях I и III. Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер CDG, ширина которого равна интервалу значений х, при которых E < П, а его высота определяется разностью П_mах–E. Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме AВС и совершает колебания между точками с координатами х_A и х_C.

В точке  В с координатой х₀ (рис. 17) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила (см. § 12) (П — функция только одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии , то в точке В —F_x = 0. При смещении частицы из положения х₀ (и влево и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение х₀ является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки (для П_max). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при смещении частицы из положения появляется сила, стремящаяся удалить ее от этого положения.

Удар  абсолютно упругих  и неупругих тел

Удар (или соударение)—это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

рис 16

Тела  во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в  том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и да удара называется коэффициентом восстановления e:

Если  для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e=1 — абсолютно упругими.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения  тел и нормальная к поверхности  их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).

Для абсолютно  упругого удара выполняются закон  сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицатель-нос — движению влево. 

При указанных  допущениях законы сохранения имеют  вид

        (15.1)

        (15.2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим

        (15.3)

        (15.4)

откуда

          (15.5)

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

       (15.6)

       (15.7)

Разберем  несколько примеров.

1. При  v₂=0

       (15.8)

       (15.9)

Проанализируем выражения (15.8) в (15.9) для двух шаров различных масс:

а) т₁=т₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (v₂=0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар ( =0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара ( );

б) т₁>т₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью ( <v₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара ( > ) (рис. 20);

в) т₁<т₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется—шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. <v₁ (рис. 21);

г) т₂>>т₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что = –v₁, »2m₁v₁/m₂»0. 

2. При  т₁=т₂ выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид

      

т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).

Если  массы шаров т₁ и т₂, их скорости до удара v₁ и v₂, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

      

где v — скорость движения шаров после удара. Тогда

          (15.10)

Вследствие  деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или  другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

      

Используя (15.10), получаем

        

Если  ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂=0), то

        

   

                                                             рис 22