Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Работа  и энергия

Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная мера различных  форм движения и взаимодействия. С  различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).

Чтобы количественно характеризовать  процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие  работы силы.

         (11.1)

Элементарной  работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

      

где a — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; F_s — проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

        (11.2)

. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и a=const, то получим

 
 

где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Из формулы (11.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н × м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

        (11.3)

За время  dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

      

т. е. равна  скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Кинетическая  и потенциальная  энергии

Кинетическая  энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

      

Используя второй закон Ньютона  и умножая на перемещение dr получаем

          

      

                                 рис 14 

Так как  то dA = mv dv=mvdv=dT, откуда

      

     (12.1)

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной; ее примером является сила трения.

         (12.2)

        (12.3)

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

      

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам

      

или в  векторном виде

        (12.4)

где

      (12.5)

(i, j, k — единичные векторы координатных осей). Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона* или набла-оператором:

                           

   (12.6) 

Конкретный  вид функции П зависит от характера  силового поля. Например, потенциальная  энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

   (12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П₀=0.

Так как  начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может  иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!).

Найдем  потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где F_{x упp} — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус указывает, что F_{x упp} направлена в сторону, противоположную деформации x.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

          

Элементарная  работа dA, совершаемая силой F_x при бесконечно малой деформации dx, равна

     

а полная работа

           

идет  на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит  только от конфигурации системы и  ее положения по отношению к внешним телам.

Полная  механическая энергия  системы — энергия механического движения и взаимодействия:

      

т. е. равна  сумме кинетической и потенциальной  энергий.

Закон сохранения энергии

Рассмотрим  систему материальных точек массами  m₁, m₂,..., m_n, движущихся со скоростями v₁, v₂,..., v_n. Пусть , ,..., — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F₁, F₂, ..., F_n — равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f₁, f₂, ..., f_n. При v<<c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

      

Двигаясь  под действием сил, точки системы  за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr₁, dr₂, ..., dr_n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i==v_i dt, получим

      

Сложив  эти уравнения, получим

         (13.1)

Первый  член левой части равенства (13.1)

      

где dT — приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).

Правая  часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

         (13.2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т. е. изменение  полной механической энергии системы  при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

   d (T+П) = 0,

откуда

         (13.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется  постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохранение механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические  системы, на тела которых действуют  только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Существует  еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Графическом представление энергии

График  зависимости потенциальной энергии  от некоторого аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.