Основные имитационные модели инвестиций

     Однако  на практике более интересны случайные  потоки однородных событий, задаваемые законом распределения, который и характеризует последовательность t1, t2,…tm или последовательность интервалов между случайными событиями ξ1, ξ2…ξm. Совокупность случайных величин {ξ} считается заданной, если при к≥1 определена совместная функция распределения вида

F(z1,z2,…zk) = Р(ξ1<z,ξ2<z2,…,ξk<zk)

или для  непрерывной случайной величины соответствующая плотность распределения вероятностей  f(z1,z2,…zk)

     Часто применяется случайный поток событий с ограниченным последействием (когда случайные величины ξj являются независимыми).

     Существуют  также стационарные потоки, для которых вероятностный режим потока во времени остается неизменным. Это означает, что число заявок, поступивших в СМО в единицу времени, постоянно.

     Потоком с отсутствием  последействия  называется такой поток, у которого число заявок, поступивших в данный момент времени, не зависит от числа заявок, обслуженных в предыдущий момент времени. Поток с отсутствием последействия является частным случаем потока с ограниченным последействием. Для потока без последействия вероятность Pk(t0,t) наступления k событий за интервал (t0,t+t) не зависит от возникновения событий до момента t0.

     Для потоков с ограниченным последействием совместная функция плотности f(z1,z2,…zk) может быть представлена в виде

f(z1,z2,…zk)= f1(z1),f2(z2),…fk(zk)

     Стационарный  поток с ограниченным последействием имеет следующее соотношение:

F2(z)=f3(z)=…=fk(z)=f(z)

Это означает, что при j > 1 интервалы ξj имеют одинаковое распределение. Математическое ожидание случайной величины ξj при j> 1

μ=,

где μ имеет смысл средней длины интервала между последовательными заявками.

     Для стационарных потоков с ограниченным последействием можно ввести понятие  интенсивности потока λ в виде      λ=1/μ

     Эта величина характеризует среднее  количество событий в единицу времени для данного потока.

     Примером  стационарного потока с ограниченным последействием является поток с равномерным распределением интервалов времени между заявками. Функция плотности f(z) такого потока имеет вид

F(z) =1/b, ≤ z≤b.

     Такой поток часто используется в практических задачах, возникающих в экономических приложениях.

     Ординарным  потоком называется такой поток, в котором невозможно появление двух и более событий одновременно. В практике часто приходится сталкиваться с групповыми заявками, т.е. несколькими событиями, проявляющимися одновременно. Такие потоки не являются одинарными.

     В теории СМО весьма большое значение имеет так называемый простейший поток однородных событий, называющийся потоком Пуассона (пуассоновский поток). Этот поток должен быть стационарным, однородным и без последействия.

     Для потока Пуассона вероятность Р_к (t) наступления события за интервал времени длиной / записывается следующим образом:

P_k(t)=,

где е — основание натурального логарифма; λt — среднее число заявок, поступивших на обслуживание за интервал t; k — количество заявок за интервал времени t.

     Функция плотности вероятности этого  потока

F(z) = λe-^λz, λ = 1/t,

  где λ — интенсивность или плотность потока.

       Для расчетов параметров СМО  на основе потока Пуассона  необходимо проверить, соответствует ли поток закону распределения Пуассона. Признаком потока Пуассона является равенство математического ожидания дисперсии , т.е.

     Пусть х — число заявок, поступивших за единицу времени, т — число единиц времени с соответствующим поступлением заявок, п — общее число единиц времени.

     Пример. Проверить, является ли поток требований в систему распределенным по закону Пуассона.

 

     Теперь  рассчитаем 

     Дисперсия потока 

     В связи с тем, что, поток можно считать пуассоновским.

     Простейший  поток и поток с равномерным  распределением интервалов времени  между последовательными событиями  наиболее часто применяются в теории и практике СМО.

     Часто используется также ординарный стационарный поток с отсутствием последействия, который называется потоком Эрланга. Потоком Эрланга порядка т называют поток, для которого 

     Где λ=/m

     Поток событий называется регулярным, если длина интервала между событиями является постоянной величиной. Примерами такого потока могут служить ежедневные сводки о каких-либо событиях (отчеты о дневной выручке в магазине, ежедневная сумма сделок на бирже или прихода средств в банк и т.п.), регламентированный поток деталей, сходящих с конвейера, поток поездов в метро и др.

     Если  известна длина интервала регулярного  потока а, то данный поток полностью определен во времени и не является случайным. Регулярный поток также является ординарным и стационарным. Однако регулярный поток является потоком с последействием. Интенсивность регулярного потока будет 

     Потоки  событий различного вида могут  разряжаться и объединяться. К сожалению, эти термины могут применяться только к потокам определенного вида. Например, если интервалы в потоке Эрланга n-го порядка уменьшить в n+1 раз, то интенсивность полученного потока станет равной интенсивности исходного пуассоновского потока, с ростом n такой поток становится сколь угодно близким к регулярному с той же интенсивностью. Такие нормированные потоки Эрланга дают различные типы потоков с последействием, начиная от потоков без последействия (n= 0) и кончая регулярными (n = ∞).

     Если  происходит объединение нескольких независимых ординарных потоков с сопоставимыми интенсивностями, то с ростом числа слагаемых потоков объединенный поток приближается к простейшему с возможной нестационарностью. Если слагаемые потоки стационарны, то в пределе получается пуассоновский поток. Интенсивность объединенного потока равна сумме интенсивностей каждого из них.

     Поток, получаемый в результате случайного разряжения или объединения пуассоновских потоков, также является пуассоновским.

     Как будет показано ниже, используя потоки Эрланга и Пуассона, можно рассчитать аналитически установившиеся значения различных параметров СМО. Однако применение этих потоков в практике имитационного моделирования в чистом виде, без специальной корректировки, учитывающей изменения типа потока, его интенсивности и т.п., крайне ограничено.

     Таким образом, вышеприведенные математические описания потоков однородных событий  позволяют осуществить формализацию процессов функционирования СМО.

     Пусть t _ож — время ожидания обслуживания, тогда в первом случае поступившая заявка может иметь три варианта поведения, а именно: покинуть систему (t_0Ж = 0), встать в очередь на обслуживание до того момента, пока не освободится свободный канал (t_ож = ∞), и, наконец, встать в очередь с ограничением времени ожидания обслуживания (t_ож≠∞).

     Исходя  из этого СМО подразделяются на системы с отказами (t_ож = 0), системы с ожиданием (t_ож =∞) и сиcтемы с ограниченным ожиданием (0<t_ож < ∞). Величина t_ож является одним из показателей качества СМО.

     Рассмотрим  теперь время обслуживания заявки (время занятости линии) t_обс как параметр обслуживающей системы.

     Время обслуживания требований является случайной  величиной и может изменяться в большом диапазоне. Случайная величина tоб_С характеризуется законом распределения, который может определяться на основе статистических испытаний. На практике часто исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания.

     При таком распределении времени  обслуживания функция распределения  времени обслуживания имеет вид 

где θ= — интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством; t₀бс — среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

     При показательном законе распределения  времени обслуживания и при наличии n обслуживающих линий одинаковой мощности 

     Важным  параметром СМО является коэффициент  загрузки 

     Величина  показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за время обслуживания одного требования одним устройством. В этом случае количество обслуживающих устройств п должно быть не меньше коэффициента загрузки: 

     В противном случае очередь будет  бесконечно расти.

     Ниже  приведены расчетные формулы  для определения важнейших характеристик качества функционирования СМО при показательном законе распределения времени обслуживания заявок.

     1. Вероятность того, что все обслуживающие системы свободны, 

     2. Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты, 

     3. Среднее число устройств, свободных от обслуживания,

     4.  Коэффициент простоя обслуживающих устройств 

     5. Среднее число устройств, занятых обслуживанием, 

     6. Коэффициент загрузки системы 

     7. Средняя длина очереди 

     8. Среднее время ожидания требований в очереди 

     или 

     Сущность  имитационного моделирования СМО  заключается в том, что необходимо построить алгоритмы, вырабатывающие случайные реализации заданных событий или потоков. Это означает, что нужно проимитировать все входные потоки, задать случайные значения времен обслуживания заявок для каждого канала, а также дисциплину очереди.