Финансовые ренты

       и  (15) 

     Если  применяется p - срочная рента с начислением процентов p раз в год (m = p) по годовой номинальной ставке i ^(p), то за единицу измерения времени можно принять часть года. Тогда - выплата за единицу времени (постнумерандо), - процентная ставка за 1 единицу времени,

     срок  ренты - np единиц времени.

     Коэффициенты  дисконтирования и наращения  такой ренты равны соответственно  

       и  . 

     Из  формул (10), (11) имеем 

      , (16), 

     что позволяет для этой ренты использовать те же таблицы коэффициентов. Заметим, что если единицей измерения времени  является 1 год, то коэффициенты дисконтирования  и наращения этой ренты определяются как  = и = и рассчитываются по формулам, полученным из (10), (11): 

      , (17). Тогда

      = и = (18) 
 
 
 
 

     4. Выплаты пренумернандо и постнумерандо.  

     Связь между коэффициентами дисконтирования  и наращения рент пренумерандо и постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтирования каждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличивается на один период ренты по сравнению с обычной рентой. По - прежнему единицей измерения времени считаем 1 год. Если   и - коэффициенты дисконтирования и наращения p - срочной ренты пренумерандо (платежи поступают в начале каждого периода длиной ) при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения: 

      =

      =

      = (1 + i) ⁿ . 

     Отсюда  при p = 1 получаем соотношения для годовых рент: 

      =

      =

      = (1 + i) ⁿ . 

     При непрерывном начислении процентов  для p - срочной ренты имеем соотношения: 

      =

     

      .

     Рассмотрим  непрерывную ренту.

     Коэффициенты  дисконтирования и наращения  постоянной непрерывной ренты можно  получить из формул для p - срочной ренты при или по определению для непрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовой интенсивностью f (t) = 1.

     Например, для постоянной непрерывной ренты  при непрерывном начислении процентов  по постоянной силе роста  получаем: 

      , 

     где - коэффициент дисконтирования обычной p - срочной ренты при непрерывном начислении процентов.

     Заметим, что так как  

      ,  

     где - коэффициент дисконтирования p - срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то 

      . 

     Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.

     Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной  ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:

. 

     Коэффициенты  наращения непрерывных рент можно  найти из равенств вида: 

      = ,

      = . 

     Соотношения между коэффициентами дисконтирования  рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений.

     Так как  

      ,  

     где i ^{(p) -} эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то 

      . 

     С другой стороны, 

      . 

     Следовательно

 

        , (19) 

     где , - коэффициенты дисконтирования обычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов.

     Равенства (19) можно продолжить для ренты  пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент: 

       и  . 

     Тогда 

      = = . (20) 

     где - эквивалентная учетная ставка.

     Из (19), (20) получаем 

      , (21) 

     где - эквивалентная номинальная учетная ставка.

     Каждое  выражение в этом равенстве - современная  стоимость процентов, выплачиваемых  по займу 1 д. е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.

     Аналогичные соотношения можно получить и  для коэффициентов наращения  рент.

     Если  полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти.

     Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞: 

      . 

     Для такой же ренты пренумерандо: 

      .

     Кроме того, .

     Таким образом, , , . (21) 

     Если  вечная рента является годовой (p = 1), то имеем: 

      , , . (22) 

     Если  начало ренты, т.е. начало ее первого  периода, переносится в будущее  на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты A_t определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей, 

      ,

     где , , - дисконтные множители k - го платежа на временных отрезках [0, t_k], [t, t_k], [0, t] соответственно. Так как , то A - стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты.

     Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты.

     Таким образом, современная стоимость  отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени  t современной стоимости A неотсроченной ренты: 

      , (23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     5. Зависимость коэффициентов  наращения ренты  от срока ренты  и процентной ставки.

     Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением  процентов 1 раз в год.

     Имеем , . 

     Ситуацию  можно рассматривать как беспроцентный  долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.

     Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты . 

      . 

     Очевидно, - возрастающая функция i, что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно, так как и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента i (рис.1). 

      Рис.1. 

Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты . 

      . 

     Очевидно, - убывающая функция i, что следует из свойств современной стоимости разового платежа. Действительно, так как и , то - убывающая выпуклая функция аргумента i (рис.2).

     

     Рис. 2

Установим зависимость от n коэффициента наращения ренты . 

      , где  . 

     Так как  и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента n (рис.3).

     

     Рис. 3 

     Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты . 

      ,  

     где .

     Так как  и (вечная рента), то - возрастающая вогнутая функция аргумента n (рис.4).

 

      Рис.4 

     Эти свойства используются в задачах  на определение параметров ренты. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     6.Примеры  с задачами 

     Задача№1

     Раскрой материала.

     На  раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость  и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная  себестоимость минимальна (построить  математическую модель в общем виде).

     Решение:

     Пусть поступает в раскрой m различных материалов.

     Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов) в количествах, пропорциональных величинам b₁, b₂,., b_k (условия комплектности).

     Пусть каждую единицу j-го материала j=1,., m можно раскроить n различными способами, так что при использовании i-го способа раскроя, i=1,., n получим а_ij единиц k-го изделия.

     Нужно определить такой план раскроя материалов, обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j-го материала составляет а_j единиц.

     Обозначим через x_ij количество единиц j-го материала, раскраиваемых i-м способом, а через x-общее количество изготавливаемых комплектов.

     Математическая  модель этой задачи имеет такой вид:

     максимизировать x (1) при условиях:

 

     Условие 2 означает ограничение на запас j-го материала, а условие 3 - условие комплектности.

 

7.Список  используемой литературы