Финансовые ренты

 

 

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования  

«Российский государственный  гуманитарный университет»  

Филиал  в г.Астрахани        
 
 
 
 
 
 

Кафедра ___________________________

___________________________________      
 
 

Кенизбаева Елена Геннадьевна  

Финансовые  ренты  

Контрольная работа по дисциплине «Финансовая математика»  студентки 2 курса заочной формы  обучения, группа ФК/5,5-2, специальность  «Финансы и кредит», специализация  «Финансовый менеджмент»  

Астрахань 2011

Содержание:

1. Введение…………………………………………………………………..
2. Финансовые ренты, их классификация и свойства………………….
3. Наращенная сумма и современная стоимость ренты……………….
4. Выплаты пренумернандо и постнумерандо…………………………
5. Зависимость коэффициентов наращения ренты от срока ренты и процентной ставки…………………………………………………….
6. Примеры с задачами………………………………………………………
7. Список используемой литературы………………………………………

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение  

     Финансовые  операции часто носят продолжительный  характер и состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. из потока платежей.

     Поток платежей, все члены которого положительные  величины, а временные интервалы  постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.

     Основные  правила процентных вычислений, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость  ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения  денежных потоков в наиболее общем  смысле используется термин рента.

     Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет - такой поток  платежей, все члены которого равны  друг другу, так же как и интервалы  времени между ними.

     Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход  ежегодно в течение ряда лет.

     В буквальном переводе "аннуитет" подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат.

     Очевидно, что рента - это более широкое  понятие, чем аннуитет, так как  существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу  или распределены неравномерно.

     Форму аннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи по кредиту, страховые взносы. Можно сказать, что финансы тяготеют к упорядочению денежных потоков.

     Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора  времени к каждому члену ренты  применяются рассмотренные выше правила наращения и дисконтирования  только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.

     Если  бы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость  создания специальных способов расчета  денежных потоков, возможно, и не возникла.

     Ни  в теории, ни на практике таких ограничений  нет, наоборот, существуют большие, очень  большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту  не по каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность - рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Финансовые ренты,  их классификация  и свойства 

     Финансовая  рента имеет следующие параметры:

• член ренты - величина каждого отдельного платежа;
• период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;
• срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;
• процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода рент.

     Классификация рент может быть произведена по различным признаками.

     В зависимости от продолжительности  периода, ренты делят на годовые  и p-срочные, где p - число выплат в году.

     По  числу начислений процентов различают  ренты с начислением один в  году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

     По  величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты.

     Если  размеры платежей изменяются по какому - либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

     По  вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные.

     Верные  ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления  некоторого случайного события. Поэтому  число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит  от продолжительности жизни пенсионера.

     По  числу членов различают ренты  с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В  качестве вечной ренты можно рассматривать  выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

     В зависимости от наличия сдвига момента  начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

     Ренты различают по моменту выплаты  платежей.

     Если  платежи осуществляются в конце  каждого периода, то такие ренты  называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3. Наращенная сумма  и современная  стоимость ренты. 

     Анализ  потоков платежей в большинстве  случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

     Рассмотрим  расчет современной стоимости и  наращенной суммы постоянной обычной (постнумерандо) p - срочной рент.

     Ежегодно  сумма R вносится равными долями p раз в году на банковский счет в течение n лет. Тогда имеем поток из np платежей величиной каждый в моменты .

     Примем  за единицу измерения времени 1 год.

     Пусть i - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи.

     Согласно  определению современной стоимости  потока платежей, получаем:

      (1)

     Вычисляя  сумму np членов геометрической прогрессии, знаменатель которой , получим: 

      (2) 

     современная стоимость постоянной обычной  p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет.

     Отсюда  современная стоимость годовой  обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году: 

      . (3) 

     Используя соотношения эквивалентности для  эффективной процентной ставки  

       и  ,

получим современную стоимость обычной  p - срочной ренты при начислении на члены ренты сложных процентов m раз в году по номинальной процентной ставке i ^(m) и непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов δ в год: 

      (4)

      . (5) 

     Формулы для наращенной суммы ренты можно  получить непосредственно по определению  согласно формуле (3).

     Например, для постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем: 

      . (6) 

     Наращенную  сумму ренты можно рассчитать, используя формулу связи современной  стоимости и наращенной суммы  потока платежей.

     Например, для годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год: 

     S = A F (T) = A (1 + i) ⁿ = (7) 

     Для других видов обычной ренты из (4) и (5), используя множители наращения  и соответственно, получим:

(8)

      (9) 

     В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (4) и (8) получаем 

      (10)

      (11) 

     Если  единицей измерения времени является 1 год, а R - это выплата за год (единицу времени), то множитель в формулах современной стоимости ренты, равный , называется коэффициентом дисконтирования ренты.

     Множитель в формулах наращенной суммы ренты, равный , называется коэффициентом наращения ренты.

     Из (1) - (11) можно получить коэффициенты наращения и дисконтирования  всех рассмотренных видов обычной  ренты.

     Согласно (1) и (5), коэффициенты дисконтирования  и наращения обычной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет равны соответственно:

(12)

 

      (13) 

       и  - это соответственно современная стоимость и наращенная сумма постоянной обычной p - срочной ренты с ежегодной выплатой 1 д. е. равными долями p раз в году в размере в моменты времени с начислением на члены ренты процентов 1 раз в году.

     Следовательно, и связаны соотношением (14): 

      = (1 + i) ⁿ (14) 

     Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования  и наращения других рассмотренных  видов обычной ренты.

     Для этих рент имеем соотношения: 

      - годовая рента с начислением  процентов 1 раз в год;

      - p - срочная рента с начислением процентов m раз в год;

      - p - срочная рента с непрерывным начислением процентов. 

     Коэффициенты  дисконтирования и наращения  годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год: