Данные о прибыли и производстве валовой продукции

     Задача 1.

     По 10 сельскохозяйственным предприятием имеются данные о прибыли и  производстве валовой продукции (производительности труда) на одного среднегодового работника (табл. 1).

Таблица 1 – Исходные данные.

     

     Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости прибыли от производительности труда.
2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.
4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить значимость коэффициента через t – критерий Стьюдента при a=0,05
6. Оценить статистическую надежность результатор регрессионного анализа с помощью F – критерия Фишера при a=0,05.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значения фактора увеличиться на 10% от его среднего уровня.

Решение

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

,

где – прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.;

     – производства валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс. руб.;

           a, b – параметры уравнения.

     Для определения параметров уравнения  a и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнения последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных a и b, и затем каждое уравнение просуммируем: 

где n – число единиц совокупности.

Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 2).

Таблица 2 – Вспомогательная таблица для  расчета статистических величин

     

     Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений: 
 

     Уравнения регрессии имеет вид: 

     Коэффициент регрессии b=0,029показывает, что при росте производительности труда на 1 тыс. руб. прибыли на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 0,029 тыс. руб.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:

 

где - ошибка аппроксимации.

Подставляем в уравнения регрессии фактические  значения х, определим теоретические (расчетные) значения (табл. 2). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 2. Отсюда: 

В среднем расчетные  значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 28,128%. Качество уравнения регрессии можно оценить как хорошее, так как средняя ошибка аппроксимации не превышает допустимого предела ().

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

 

где и – средние значения признаков.

Отсюда: 
 
 

Коэффициент эластичности показывает, что в среднем  при росте производительности труда  на 1% прибыли на одного работника  повышается на 0,571%.

4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитываем корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

 

где - средняя сумма произведения признаков;

 и – средние квадратическое отклонения по х и у.

     Данные  для расчета коэффициента представлены в табл. 2 и в пункте 3 решения. Отсюда: 
 
 
 

Коэффициент корреляции =0,251 свидетельствует, что связь между признаками есть, но не очень большая. Коэффициент детерминации  =0,251²=0,063 показывает, что 6% …..

5. Для проверки статической зависимости (существенности) значением линейного коэффициента парной корреляции рассчитываем t – критерий Стьюдента по формуле:

 

Вычисленное сравним с табличным (критическим) значением при принятом уровне значимости а=0,05 и числе степеней свободы v=n-2=10-2=8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.

Фактическое значения критерия меньше табличного, что свидетельствует о…

6. Оценим значимости уравнения регрессии и показатели тесноты связи с помощью F – критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значения F_факт с табличным (критическим) значением F_табл.

     Фактическое значение F_факт по формуле: 

     В нашем случае: 

     Табличное значение F_табл. По таблице значения F – критерия Фишера – при а=0,05, k₁=m=1и k₂=n-m-1=10-1-1=8 равно 5,32 (m – число параметров при переменной х).

     Фактическое значения критерия меньше табличного, свидетельствует о …

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значения прибыли на одного работника при средним росте производительности труда на 10%.

     Прогнозное  значение производительности труда: 

     Прогнозное  значение прибыли на одного работника: 

     Задача 2 

     По 30 сельскохозяйственным предприятием имеются данные о средних значениях  и вариации урожайности картофеля, количество внесенных органических удобрений и доли посадок картофеля  после лучших предшественников, а  так же о значениях коэффициентов  парной корреляции между этими признаками (табл. 3)

Таблица 3 – Исходные данные.

     

     Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности картофеля от количества внесенных органических удобрений и доле посадок картофеля по лучшим предшественникам в стандартизированном масштабе и в естественной форме.
2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.
3. Рассчитать F – критерий Фишера при уровне значимости, а=0,05.

Решение

1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

 

     где - урожайность картофеля с 1 га, ц;

          - внесено органический удобрений на 1 га посадки картофеля, т;

         - доля посадки картофеля по лучшим предшественникам, %;

       , - параметры уравнения.

     Для расчета его параметров а, и сначала построим уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе: 

     где , и - стандартизированные переменные;

           и – стандартизированные коэффициенты регрессии.

     Стандартизированные коэффициенты регрессии определим  по формулам: 
 

     Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид: 

     Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность картофеля. Наиболее значительное влияние доли посадок картофеля лучшим предшественникам. Количество внесенных органических удобрений оказывают меньшее воздействие.

     Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем и , используя формулы перехода от к  

     где и - средние квадратическое отклонения. 
 

     Параметры а определим из соотношения: