Связь софистики и кибернетики

    А вот современный софизм, обосновывающий, что с возрастом «годы жизни» не только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни — это её 1/n часть, где n — число прожитых вами лет. Но n + 1>n. Следовательно, 1/(n + 1)< 1/n».

    Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой «софизма Эватла».) С этой же идеей обычно связывают и «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины. Уже Платон заметил на то, что основание не должно заключаться в субъективной воле человека, иначе придётся признать законность противоречий (что, между прочим, и утверждали софисты), а поэтому любые суждения считать обоснованными. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском «принципе непротиворечия» (см. Логический закон) и, уже в современной логике, — в истолкованиях и требовании доказательств «абсолютной» непротиворечивости. Перенесённая из области чистой логики в область «фактических истин», она породила особый «стиль мышления», игнорирующий диалектику «интервальных ситуаций», то есть таких ситуаций, в которых критерий Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам её познания, оказывается весьма существенным. Именно поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам и в остальном безупречные, квалифицируются как софизмы, хотя по существу они только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Так, софизм «куча» («Одно зерно — не куча. Если n зёрен не куча, то n + 1 зерно — тоже не куча. Следовательно, любое число зёрен — не куча») — это лишь один из «парадоксов транзитивности», возникающих в ситуации «неразличимости». Последняя служит типичным примером интервальной ситуации, в которой свойство транзитивности равенства при переходе от одного «интервала неразличимости» к другому, вообще говоря, не сохраняется, и поэтому принцип математической индукции в таких ситуациях неприменим. Стремление усматривать в этом свойственное опыту «нетерпимое противоречие», которое математическая мысль «преодолевает» в абстрактном понятии числового континуума (А. Пуанкаре), не обосновывается, однако, общим доказательством устранимости подобного рода ситуаций в сфере математического мышления и опыта. Достаточно сказать, что описание и практика применения столь важных в этой сфере «законов тождества» (равенства) так же, вообще говоря, как и в эмпирических науках, зависит от того, какой смысл вкладывают в выражение «один и тот же объект», какими средствами или критериями отождествления при этом пользуются. Другими словами, идёт ли речь о математических объектах или, к примеру, об объектах квантовой механики, ответы на вопрос о тождестве неустранимым образом связаны с интервальными ситуациями. При этом далеко не всегда тому или иному решению этого вопроса «внутри» интервала неразличимости можно противопоставить решение «над этим интервалом», то есть заменить абстракцию неразличимости абстракцией отождествления. А только в этом последнем случае и можно говорить о «преодолении» противоречия.

    По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении имён Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах.

    Небольшое отступление: из данного текста видно, что софизмы являются определёнными логическими связками, а софисты используют в них не само понимание каких-либо предметов а логические понятия. 

      1.2 Виды софизмов:

    а) софизм «учетверение термина» — силлогическое умозаключение, в котором нарушено правило простого категорического силлогизма: в каждом силлогизме должно быть только три термина. Умышленно ошибочное рассуждение строится с использованием нетождественных, но внешне сходных понятий: например, «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего»,

    б) софизм недозволенного процесса —  силлогистическое умозаключение, в  котором нарушено правило простого категорического силлогизма: термин, не распределенный (не взятый во всем объеме) в одной из посылок, не может быть распределен (взят во всем объеме) в заключении: «все птицы имеют крылья — некоторые яйцекладущие имеют крылья»;

    в) софизм собирательного среднего термина  — силлогистическое умозаключение, в котором нарушено правило простого категорического силлогизма: средний  термин должен быть распределен (взят во всем объеме) по крайней мере в одной из посылок: «некоторые люди умеют играть на скрипке — все дипломаты-люди — все дипломаты умеют играть на скрипке». 
 

1.3 Примеры софизмов

    1. Полупустое и полуполное:

    Полупустое  есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.

    2. Чётное и нечётное:

    5 есть 2+3 («два и три»). Два —  число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число  и чётное и нечётное.

    3. Не знаешь то, что знаешь:

    «Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?»  — «Нет». — «Знаешь ли ты, что  добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

    4. Лекарства:

    «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем  больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

    5. Вор:

    «Вор  не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего»

    6. Отец — собака:

    «Эта  собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят».

    7. Рогатый:

    «Что  ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». 

 

2 Булева алгебра 

2.1 Джордж Буль

    Решающий  вклад в алгебраизацию логики сделал английский ученный Джордж Буль (1815-1864). В 1847 году вышла его работа с характерным названием – “математический анализ логики, являющийся опытом исчисления дедуктивного рассуждения”. Применяя алгебру (в дальнейшем она стала называться булевой алгеброй), можно было закодировать высказывание, истинность и ложность которых требовалось доказать, а потом оперировать ими, как в математики оперируют с числами. Буль ввел три основные операции: И, ИЛИ, НЕ, хотя алгебра допускает и другие операции - логические действия . Эти действия бинарны по своей сути, т. е. они оперируют с двумя состояниями: ”истина” - “ложь”. Данное обстоятельство позволило в дальнейшем использовать булеву алгебру для описания переключательных схем.Необходимо отметить, что окончательное оформление и завершение булева алгебра получила в работах последователей Дж. Буля: У C. Джевонса и Дж. Венна (Англия), Э. Шредера (Германия), П. С. Порецкого (Россия).

    Итак, булева алгебра использует логические связки, но и софистика также использует логические связки, их связь очевидна, попробуем определить связь булевой алгебры с современными науками. 

2.2 Булева алгебра

    Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

    Первые  три аксиомы означают, что (A, , ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

    Заметим, что булева алгебра использует бинарную систему как и информатика, что ж связь одного с другим очевидна, идем далее. 

2.3 Некоторые свойства

    Из  аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

 

      2.4 Основные тождества

    В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением  еще нескольких.

    Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

 

      2.5 Примеры 

    Самая простая нетривиальная булева алгебра  содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей: