Паутинообразная модель

       — соответствующее равновесное значение спроса и предложения;

       d и s — угловые коэффициенты функций спроса и предложения.

В силу уравнений (2.1.1) итерационный процесс (1.5) может быть представлен в виде

 

                           (2.1.2)

или

 

                                         (2.1.3)

 

Это значит, что числовая последовательность которая определяет отклонение текущей цены от равновесной, представляет собой знакочередующуюся геометрическую прогрессию  , со знаменателем . Поэтому при последовательность y_t стремится к нулю, что означает достижение равновесия на рынке .

При   последовательность неограниченно возрастает и амплитуда колебаний цен увеличивается .

   При последовательность последовательно принимает равные по абсолютной величине значения . Как видим, характер динамики цен зависит в данной модели от отношения угловых коэффициентов функций спроса и предложения. Поэтому теоретически равновесное положение паутинообразной модели может быть и неустойчивым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Паутинообразная  модель с запаздыванием предложения

 

 

Сформулируем гипотезы одной  из модификаций паутинообразной модели (1.4) с запаздыванием предложения (модель В).

Гипотеза 1. При определении объема предложения в каждый период времени товаропроизводитель ориентируется на спрос в предыдущий период.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.2.1. – Кривые спроса (DD) и предложения (SS)

 

Эта гипотеза приводит к  росту (снижению) предложения в случае, когда спрос больше (меньше) предложения.

Гипотеза 2. Цена предлагаемого товара устанавливается товаропроизводителем на уровне, определяемом в соответствии с функцией предложения.

Здесь товаропроизводитель  действует формально: он знает, что  кривая предложения в некотором  смысле оптимальна. Поэтому он полагает, что при определении уровня цен  с помощью функции предложения  предлагаемый объем товара будет  оптимальным.

Гипотеза 3. Объем потребления не может превосходить ни объема предложения, ни объема спроса.

Эта гипотеза означает, что  если предложение меньше спроса, то потребление равно предложению.

Если же спрос меньше предложения (т.е. имеет место избыточное предложение  товара), то потребление равно спросу, а непроданный товар приводит к затовариванию. Таким образом  в данной модели связь между потреблением , спросом и предложением в каждый период времени t можно представить в виде:

 

                                               (2.2.1)

 

Последнее означает, что  график кривой потребления модели В представляет собой линию SAD (рисунок 2.2.1).

Модель можно представить  в виде блок-схемы, изображенной на рисунке 2.2.2

 

Рисунок 2.2.2 – Блок-схема паутинообразной модели В 

 

Из этой блок-схемы видно, что в рассматриваемой модели происходит отставание предложения: .

Подчеркнем, что гипотеза (1), выражающая реакцию производителя на несоответствие спроса предложению , и гипотеза (2) определяют модель предложения товаров.

Рассуждая формально, приходим к следующему. При заданных и , удовлетворяющих условию , определяется спрос , после чего для объема потребления получаем .

В случае дисбаланса между  спросом и предложением товаропроизводитель предлагает в следующий момент времени товар в объеме который он рассчитывает продать по цене , определяемой из условия , Далее процесс повторяется.

Рассмотрим описанный  итерационный процесс более подробно. На первом шаге, при цене , имеет место избыточный спрос, вследствие чего потребление равно предложению. Так как в этом случае реализован товар в объеме , что меньше равновесного значения , то товаропроизводитель теряет часть прибыли, поскольку и цена, как оказалось, занижена, и предложено товара меньше, чем могло бы быть продано.

Упущенная выгода заставляет товаропроизводителя увеличить  цену товара и объем его предложения. Предполагая при этом, что спрос  не изменится, он принимает решение  увеличить выпуск до объема . Предложение при таком объеме является, как надеется товаропроизводитель, оптимальным в случае, когда цена удовлетворяет уравнению . Это значит, что на втором шаге продавец (он же товаропроизводитель) устанавливает цены, используя кривую предложения.

Так как цене соответствует спрос , то в силу потребление на втором шаге равно _{(теперь часть предложенного товара не находит покупателя из-за высокой цены). В результате такого дисбаланса предприятие вновь оказывается в проигрыше, недополучая часть прибыли.}

Для улучшения ситуации на рынке в этом случае фирма должна сократить предложение и снизить  цену. В соответствии с используемыми  здесь допущениями, предложение  должно снизиться до уровня спроса , а цена — до уровня , который определяется из условия . Далее процесс повторяется.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

 

По данным таблицы построить  регрессионное уравнение предложения. Используя полученные параметры  уравнения, вычислить параметры уравнение спроса. Определить равновесную цену. С помощью построенных уравнений сгенерировать наборы данных  и построить график траектории «нащупывания» равновесной цены.

Таблица 1 – исходные данные

№ п/п	Цена в момент t	Цена в момент t-1	Предложение	Спрос
1.	–	5	6,74	23,25
2.	22,52	22,52	12,87	19,32
3.	10,25	10,25	8,58	17,39
4.	18,84	18,84	11,58	16,44
5.	12,83	12,83	9,48	14,90
6.	17,04	17,04	10,95	14,24
7.	14,09	14,09	9,92	12,89
8.	16,15	16,15	10,64	10,13

 

Паутинообразная модель с запаздыванием спроса.

По данным таблицы определим  уравнение предложения, которое  задается формулой (3.1)

 

                                             (3.1)

 

При использовании значений цены в момент времени t-1 и предложения, с помощью программы MathCad можно определить коэффициент корреляции, по формуле (3.2)

 

                                  (3.2)

 

где – значения цены в момент времени t-1 и предложения       соответственно;

  – значения дисперсий.

Таким образом:

 

Далее по формуле (3.3) находим параметр c

 

 

                                                       (3.3)

 

где – среднеквадратическое отклонение.

 

Из равенства (3.4) определим параметр d

 

,                               (3.4)

,                                                (3.5)

 

где – средние значения, предложения и времени в момент                   времени t-1 соответственно.

 

Таким образом, были получены параметры уравнения предложения, по которым можно его записать

 

По данным таблицы определим  уравнение  спроса, которое задается формулой (3.6)

 

                                                (3.6)

 

При использовании значений цены в момент времени t и спроса, с помощью программы MathCad можно определить коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле (3.2) и равен

 

Далее по формуле (3.7) находим параметр a

 

                                                 (3.7)

 

где – среднеквадратическое отклонение.

 

Из равенства (3.8) определим параметр b

 

,                                         (3.8)

,                                                (3.9)

 

где – средние значения, спроса и времени в момент                   времени t соответственно.

 

Таким образом, были получены параметры уравнения спроса, по которым  можно его записать

 

 

С помощью полученных уравнений можно получить равновесную цену, приравняв полученные функции спроса и предложения:

 

,

или

 

Рассчитаем траектории изменения  цены, спроса и предложения используя исходные данные и полученные уравнения спроса и предложения.

 

Таблица 2 –  данные траекторий цены, спроса и предложения

Цена	Траектория спроса	Траектория предложения	Траектория движения к  равновесной цене
5,00	18,11	6,75	18,11
5,00	18,11	6,75	6,75
45,59	6,75	20,91	6,75
45,59	6,75	20,91	20,91
-4,98	20,91	3,26	20,91
-4,98	20,91	3,26	3,26
58,03	3,26	25,25	3,26
58,03	3,26	25,25	25,25
-20,49	25,25	-2,15	25,25
-20,49	25,25	-2,15	-2,15
77,34	-2,14	32,00	-2,15
77,34	-2,14	32,00	32,00
-44,55	31,99	-10,55	32,00
-44,55	31,99	-10,55	-10,55
107,33	-10,54	42,46	-10,55
107,33	-10,54	42,46	42,46

 

Таким образом, паутинообразная  модель с запаздыванием спроса имеет  вид.

 

Рисунок 3.1 – паутинообразная  модель с запаздыванием спроса

 

Так как кривая спроса наклонена  круче, чем кривая спроса, то равновесие на таком рынке будет устойчивым.

 

Паутинообразная модель с запаздыванием предложения.

По данным таблицы определим  уравнение предложения, которое  задается формулой (3.10)

 

                                             (3.10)

 

При использовании значений цены в момент времени t и предложения, с помощью программы MathCad можно определить коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле (3.2) и равен

 

Далее по формуле (3.11) находим параметр c

 

                                                 (3.11)

 

где – среднеквадратическое отклонение.

 

Из равенства (3.12) определим параметр d

 

,                                      (3.12)

,                                                (3.13)

 

где – средние значения, предложения и времени в момент                   времени t соответственно.

 

Таким образом, были получены параметры уравнения предложения, по которым можно его записать

 

По данным таблицы определим  уравнение  спроса, которое задается формулой (3.14)

 

                                             (3.14)

 

При использовании значений цены в момент времени t-1 и спроса, с помощью программы MathCad можно определить коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле (3.2) и равен

 

Далее по формуле (3.15) находим параметр a

 

                                                 (3.15)

 

где – среднеквадратическое отклонение.

 

Из равенства (3.16) определим параметр b

 

,                                         (3.16)

,                                                (3.17)

 

где – средние значения, спроса и времени в момент                   времени t-1 соответственно.

 

Таким образом, были получены параметры уравнения спроса, по которым можно его записать

 

 

С помощью полученных уравнений можно получить равновесную цену, приравняв полученные функции спроса и предложения:

 

,