Примеры сложения чисел с фиксированной  запятой были рассмотрены выше.

Сложение  чисел с плавающей  запятой

 

Если имеются  два числа в нормальной форме: Х₁ = m₁ 10^p1 и Х₂ = m₂ 10^p2 , то для того чтобы их можно было сложить, нужно предварительно привести их к одному и тому же порядку Робщ, т. е. преобразовать одно из слагаемых, например, первое следующим образом:

      Х₁ = m₁ 10^p1  = m₁^* 10^p1 = m₁^* 10^pобщ.

Далее можно  вынести степень основания системы  за скобки и произвести сложение мантисс: Х₁ + Х₂= m₁^* 10^pобщ. + m₂ 10^pобщ. = (m₁^* + m₂ ) 10^pобщ.

Преобразовывать всегда нужно меньше слагаемое, так как в противном случае произойдет переполнение разрядной сетки мантиссы преобразуемого числа.

Машинная операция сложения чисел в нормальной форме  распадается таким образом, на 4 этапа:

1. Уравниваются порядки слагаемых: меньший порядок увеличивается до большего, мантисса преобразуемого числа сдвигается вправо (число денормализуется) на соответствующее количество разрядов. Практически в машинах производится вычитание порядков операндов. Знак и модуль разности Р1 - Р2 определяют соответственно, какое из слагаемых нужно преобразовывать и на сколько единиц следует сдвигать мантиссу преобразуемого числа.

2. Производится преобразование мантисс слагаемых в один из модифицированных кодов.

3. Мантиссы слагаемых суммируются по правилам сложения дробных чисел с фиксированной запятой.

4. В случае надобности мантисса суммы переводится в прямой код, производится нормализация суммы и округление ее мантиссы.

ПРИМЕР. Используя  дополнительный код, сложить два  числа:

     [X₁]_пр = 0  101;  1,10101     и   [X₂]_пр = 0  100 ;        1,11001

                                                                 порядок       мантисса

РЕШЕНИЕ:

1. [X₂]_пр = 0  101;  1,011001
2. [m₁]^мод = 11,01011;              [m₁]^мод = 11,100111.    

                 ^{доп                                                      доп}

3.    [m₁]^мод = 11,01011         

•                              ^доп

[m₂]^мод = 11,01011        

          доп

[m₃]^мод = 110, 111101     

         доп

отбрасывается  запрещенная комбинация

4. Комбинация знаковых цифр мантиссы показывает, что сумма денормализована влево (всегда только на один разряд)

Произведем  нормализацию суммы вправо

[m₃]^мод = 10, 111101                 1,0111101

                 ^доп

Р_общ = 0,101 + 0,001 = 0,110

Далее переводим  сумму в прямой код и производим округление ее мантиссы до пяти разрядов.

     Ответ: [X₃]_пр = 0  110 ;        1,1000011   ~  0  100;   1, 10001

                                                                        порядок   мантисса

Умножение чисел с фиксированной  запятой

 

Наиболее просто умножение выполняется в прямом коде, независимо от того, являются ли операнды целыми или дробными числами. В машинах с фиксированной запятой оно реализуется в два этапа.

1. Определяется знак произведения с помощью сложения знаковых цифр сомножителей по модулю два, где нуль соответствует плюсу, а единица - минусу:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

      Вручную это эквивалентно:

    (+) (+)  = (+);   (+) (-) = (-);   (-) (+) = (-);    (-) (-) = (+).

2. Производиться перемножение модулей сомножителей, затем в случае необходимости округление полученного модуля произведения, после чего к модулю результата приписывается его знак, определенный на первом этапе.

Умножение производится по обычным правилам арифметики согласно двоичной таблицы умножения. Произведение модулей |Х₃| = |Х₁| * |Х₂| двух (например дробных) чисел, где множитель Х₂ = Х₂₁ 2^-1 + Х₂₂ 2^-2 +…+ Х_2n 2^-n,      чаще всего вычисляется как сумма так называемых частичных произведений:

                 n

/Х₃/ = å /Х/ Х_2i 2^-i

                i=1

В машинах может  быть реализовано как умножение, начинающееся с младшей цифры множителя (наиболее привычный способ), так и умножение, начинающееся со старшей цифры множителя. При умножении вручную в первом случае частичные произведения сдвигаются влево, во втором - вправо.

      ПРИМЕР. Перемножить числа [X₁]_пр = 0,1010 и [X₂]_пр = 1,1101

      Решение.

1. Определяем знак произведения 0 + 1 = 1.

2. Перемножим модули операндов, порядок перемножения определяется нумерацией цифр множителя: 

1-й способ

             0,1010                                                                 0,1010

         х 0,1101                                                             х 0,1101

               4,3,2,1          номера цифр множителя            1,2,3,4

                1010                                                                    1010

              0000                                                                        1010

          +1010                                                                        + 0000

           1010                                                                                1010

    0,10000010                                                                 0,10000010

После округления приписываем к модулю знак произведения, полученный на первом этапе умножения.

Ответ: [X₃]_пр = 1,0000010     ~    1,10000.

Первый способ часто называют умножением младшими разрядами вперед, а второй - умножением старшими разрядами вперед.

Умножение чисел с плавающей  запятой

 

Если имеем  два сомножителя, заданные в нормальной форме Х₁ = m₁ 10^p1 и Х₂ = m₂ 10^p2, то их произведение определяется следующим образом:

Х₁ Х₂  = m₁  m₂  10^p1+р2.

Анализ этого  соотношения показывает, что умножение  чисел в машинах с плавающей запятой производится в четыре этапа:

1. Определение знака произведения путем сложения по модулю два знаковых цифр мантисс сомножителей.

2. Перемножение модулей мантисс сомножителей по правилам для дробных чисел с фиксированной запятой.

3. Определение порядка произведения путем алгебраического сложения порядков сомножителей с использованием либо дополнительного, либо обратного модифицированного кода.

4. Нормализация результата и округление мантиссы в случае необходимости. Поскольку сомножители обязательно являются нормализованными числами, то де нормализация произведения возможна только на разряд и только вправо. 

ПРИМЕР. Перемножить  числа с плавающей запятой.

Множимое [X₁]_пр = 0  101;  1,10101      

Множитель [X₂]_пр = 0  100;  1,11001

Решение.

1. Знак произведения 1 + 0 = 1.

2. Перемножаем модули мантисс:

    1-й  шаг               ,0000  0000      - нулевая  сумма

                               +,0000  1010      - 1-е частичное  произведение

    2-й  шаг              ,0000    1010     - 2-я сумма

                            + ,0000    0000     - 2-е частичное произведение 

    3-й  шаг              ,0000    1010     - 3-я сумма

                            + ,0010    1000     - 3-е частичное  произведение  

    4-й  шаг              ,0011    0010     - 4-я сумма

                            + ,0101    0000     - 4-е частичное произведение

                               , 1000    0010     - модуль  произведения мантисс. 

Находим порядок  произведения:

          [р₁]^мод = 00,101         

•                ^доп

[р₂]^мод = 11,101        

     доп

[р₃]^мод = 100, 010     

         ^доп

      теряется

Производим округление мантиссы произведения.

     Ответ: [X₃]_пр  = [Х₁ Х₂]_пр =  0   010 ;      1    100

                                                      порядок      мантисса  

 

Прямой, обратный и дополнительный коды. Модифицированный код. 

       Введем определение прямого, обратного  и дополнительного кодов. Рассмотрим двоичное число  В соответствии с изложенным выше число R кодируется следующим образом:

               0 

      R=    1 

       или, в более общем случае, если ,

           0         

      R=               

      Так как  , эти соотношения можно переписать таким образом:

                         ,            

       =       

      Представление чисел в соответствии с данной формулой называется прямым кодом числа 

       Если  , то формула перепишется в таком виде:

                        ,            

       =       

      Аналогичным образом кодируются и числа, модуль которых не меньше единицы.

      Пример: Записать числа в прямом коде: 

                 

      Из  равенства

      

      следует, что операцию вычитания y из x можно заменить операцией сложения S-y и х с последующим вычитанием из результата величины S.

      Введем  запись

                             R          

       =           S+R      

      Представление чисел в соответствии с  называется дополнительным кодом числа R.

      Операцию  вычитания можно заменить операцией  сложения и на основе соотношения

       .