1011101

      *1001101

       1011101

                                                            0000000

                                                          1011101

                                                        1011101

                                                      0000000

                                                    0000000

                                                   1011101

                                                  1101111111001           

      Искомый результат: 110111,1111001

      Тот же результат получим, начиная умножение  со старших разрядов множителя:

        1011101

      *1001101

       1011101

               1011101

                       1011101

                           1011101

                                     1011101

                         1101111111001 

      ДЕЛЕНИЕ. Деление чисел в двоичной системе  производится аналогично делению десятичных чисел. Рассмотрим деление двух целых  чисел, так как делимое и делитель всегда могут быть приведены к  такому виду путем перениесения запятой  в делимом и делителе на одиноаковое число разрядов и дописывания неоюходимых нулей. Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по обычным правилам, прием последняя целая цифра частного получается тогда, когда все цифры делимого исчерпаны.

      Пример. Разделить  =1101,11 на =10111.

      

                                1101110            0111

                                      -10111                100,1100

                  100100

                    -10111

                        11010

                        -10111

      Остаток                1100 

      Пример. Разделить  =10001,111 на =11,01

      

                                       10001111                 11010

                                      -11010                       101,1

              100111

               -11010

                11011

                -11010

                 00000

      Искомый результат 101,1

      Таким образов, выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления достаточно просто. Особенно просто выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Благодоря этому, применение двоичной системы в вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых осуществляются операции над числами.

 

      Формы представления чисел  с фиксированной и плавающей запятой. 

      При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде  записываются цифры 0 или 1. Так как  в ЦВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЦВМ.

      В качестве таких устройств, могут  быть использованы триггеры. Набор  триггеров, предназначенных для  представления чисел в ЦВМ, а  также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЦВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЦВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших – необходимая точность вычислений.

      В ЦВМ используют две формы представления  чисел: естественную и полулогарифмическую.  

      Числа с фиксированной запятой. 

      Числа с фиксированной запятой. При  этой форме обычно запятая, отделяющая целую часть числа от ее дробной  части, фиксируется перед старшим  разрядом модуля числа. 

      

                                                       Разряды модуля числа

      Знаковый  разряд

                            Место запятой  

      Таким образом, значение модуля числа всегда оказывается меньше единицы. Это  условие путем выбора определенных масштабных коэффициентов должно выполнятся для исходных данных задачи и всех промежуточных результатов вычислений.

      При занесении числа в ячейку памяти свободные младшие разряды заполняются  нулями, а если число значащих разрядов модуля больше n – 1, то младшие разряды модуля, которые не поместились в разрядной сетке, теряются. Это приводит к погрешности, значение которой меньше единицы младшего разряда разрядной сетки, т. е. . Так, при n=16 при n=32 .

      Если  число имеет целую часть, то для ее хранения в разрядной сетке места нет, она теряется, число в разрядной сетке оказывается ошибочным.

      Достоинство представления чисел в форме  с фиксированной запятой состоит  в простоте выполнения арифметических операций.

      Недостатки  – в необходимости выбора масштабных коэффициентов и в низкой точности представления с малыми значениями модуля ( нули в старших разрядах модуля приводит к уменьшению количества разрядов, занимаемых значащей частью модуля числа ). 

      Числа с плавающей запятой. 

      Для научно – технических расчетов необходимо представлять числа в широком диапазоны и с достаточно большой точностью. Указанным требованиям отвечают числа с плавающей запятой. 
 

         m     m – 1                                                                 1          p       p – 1                                   1

        

      Знак                                      Модуль мантиссы                            Знак                Модуль порядка

      числа                                                                                            порядка 

      Число состоит из мантиссы, старший разряд которой определяет знак числа, и  порядка со знаком. Значение модуля мантиссы представляется двоичным дробным  числом, т. е. запятая фиксируется  перед старшим разрядом модуля мантиссы, порядок представляется целым числом. Порядок указывает действительное положение запятой в числе. Код в приведенном формате представляет значение числа в полулогарифмической форме: , где М и П мантисса и порядок числа.

      Точность  представления значений зависит  от количества значащих цифр мантиссы. Для повышения точности числа  с плавающей запятой представляются в нормализованной форме, при  которой значение модуля мантиссы лежит  в пределах . Признаком нормализованного числа служит наличие единицы в старшем разряде модуля мантиссы. В нормализованной форме могут быть представлены все числа из некоторого диапазона за исключением нуля.

      Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой  представляют значения модуля в диапазоне

      

      где - максимальное значение модуля порядка.

      Так, при p=7 -1= =63 и диапазон представления модулей нормализованных чисел

       ,

      

      Таким образом, диапазон чисел от до .

      Для расширения диапазона представляемых чисел при фиксированной длине  разрядной сетки ( m+p ) в качестве основания системы счисления выбирается . При этом число, представляемое в разрядной сетки, приобретает значения . Нормализованная мантисса 16 – ричного числа с плавающей запятой имеет значения, лежащее в диапазоне .Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в четырех старших разрядах модуля мантиссы. Диапазон представления чисел в этом случае существенно расширяется, находясь при том же количестве разрядов в пределах от до .

      Рассмотрим  погрешность представления чисел  с плавающей запятой. Абсолютная погрешность числа 

       .

      Предельная  относительная погрешность –  отношение абсолютной погрешности  к числу при минимальном значении модуля мантиссы нормализованного числа.

       .

      Отсюда  видно, что точность представления  чисел определяется количеством  разрядов, отводимых в разрядной  сетке под мантиссу.

      В современных ЭВМ числа с плавающей  запятой имеют основания системы  счисления 16 и представляются в двух форматах: коротком ( с числом разрядов 32 ) и длинном ( с числом разрядов 64 ). Длинный формат предусматривает увеличения количества разрядов, отводимых в разрядной сетке под мантиссу, за счет чего повышается точность представления чисел.

 

Сложение  чисел с фиксированной  запятой

 

Алгебраическое  сложение чисел с фиксированной  запятой в цифровых машинах может  производиться в одном из машинных кодов: прямом, дополнительном или обратном. Чаще всего используется либо дополнительный, либо обратный код. При этом знаковый разряд и цифровая часть числа рассматривается как единое целое, в результате чего с отрицательными числами машина оперирует как с положительными, независимо от того, представлены ли они в виде правильных дробей или в виде целых чисел. Главное достоинство дополнительного и обратного кодов заключается в том, что правильный знак суммы получается автоматически в процессе суммирования знаковых цифр операндов и цифры переноса из соседнего младшего разряда. В случае возникновения единицы переноса из знакового разряда суммы ее нужно отбросить при сложении в дополнительном коде и прибавить к младшему разряду суммы при сложении в обратном коде (т. е. произвести циклический перенос единицы переполнения).

Алгебраическое  сложение много разрядных чисел обычно организуется как регулярный процесс, состоящий из n одинаковых операций поразрядного сложения вычитания, где n- количество разрядов в каждом из операндов).

      При этом в зависимости от знаков слагаемых  возможны четыре случая:

    1) Х₁ > 0,     Х₂ > 0,      Х₃ = Х₁ + Х₂  > 0;

    2) Х₁ > 0,     Х₂ < 0,      Х₃ = Х₁ + Х₂  > 0;

    3) Х₁ > 0,     Х₂ < 0,      Х₃ = Х₁ + Х₂  < 0;

    4) Х₁ < 0,     Х₂ < 0,      Х₃ = Х₁ + Х₂  < 0;