Введение в математический анализ

                             f(x₀)-e

                                          x₀           x 
 
 
 
 

      Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                               . 

      Определение.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной. 

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀. 
 
 

Свойства  непрерывных функций. 

     1) Сумма, разность и произведение  непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀. 

     2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀. 

  3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если  u = f(x),  v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке. 

      Справедливость  приведенных выше свойств можно  легко доказать, используя теоремы  о пределах. 

Непрерывность некоторых элементарных функций. 
 

      1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

      2) Рациональная функция  непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения. 

      3) Тригонометрические функции sin и cos непрерывны на своей области определения.

     Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) – sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций  и . При этом функция косинус – ограниченная функция при Dх®0 , а т.к.

предел  функции синус  , то она является бесконечно малой при Dх®0.

     Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно  это произведение, т.е. функция Dу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х₀ из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина. 

Точки разрыва и их классификация. 

      Рассмотрим  некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

     Следует отметить также, что непрерывность  функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

      Если  односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа. 

 
 
 
 

                                              х₀ 
 

      Если  односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

       
 
 

                                             х₀ 
 
 

      Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке. 

      Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. 

     Для выполнения условий этого определения  не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

     Из  определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях  точку разрыва 1 – го рода еще  иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже. 

     Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен. 

     Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

     

не является непрерывной в любой точке  х₀.

     Пример. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

. 

      Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет  в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

 
 

График  этой функции: 

 
 

      Пример.  f(x) = =  

                y 

                                    1 
 

                                    0   x 

                                    -1 
 

      Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить  функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях  тем не менее  будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой. 

      Таким образом, для того, чтобы точка  разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние  пределы справа и слева были конечны  и равны, а  функция была бы в  этой точке не определена. 
 

Непрерывность функции на интервале и на отрезке. 

      Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). 

      При этом не требуется непрерывность  функции на концах отрезка или  интервала, необходима только односторонняя  непрерывность на концах отрезка или интервала. 
 
 
 

Свойства  функций, непрерывных  на отрезке. 
 

      Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M £ f(x) £ M. 

     Доказательство  этого свойства основано на том, что  функция, непрерывная в точке  х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀. 

     Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

     Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m,  f(x₂) = M, причем

     m £ f(x) £ M 

     Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке  и несколько раз (например – f(x) = sinx).

     Разность  между наибольшим и наименьшим значением  функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. 

     Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. 

     Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак. 

     Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. 

     Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х₀: f(x₀) = 0. 

     Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого e>0 существует D>0 такое, что для любых точек х₁Î[a,b] и x₂Î[a,b] таких, что

     ïх₂ – х₁ï< D

верно неравенство                                    ïf(x₂) – f(x₁)ï < e 

      Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х. 

      Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это  свойство справедливо только  для отрезков, а не для интервалов  и полуинтервалов.) 

      Пример.  
 

 

      Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число D>0 такое, что существуют значения х₁ и х₂ такие, чтоïf(x₁) – f(x₂)ï>e, e - любое число при условии, что х₁ и х₂ близки к нулю. 

      Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.