Введение в математический анализ

      Пусть х = 10^у, тогда lnx = ln10^y , следовательно lnx = yln10 

 у  = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода. 
 
 
 

Предел  функции в точке. 

           y      f(x) 
 

                                             A + e

                                                  A

                                              A - e 
 
 

                              0                      a - D  a  a + D      x 
 
 
 
 

      Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) 

      Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 

0 < ïx - aï < D

верно неравенство                                ïf(x) - Aï< e. 

      То  же определение может быть записано в другом виде:

Если  а - D < x < a + D,  x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e. 

Запись предела функции в точке:  

      Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа. 

      у

                                                            f(x) 

                                    А₂ 

                                    А₁ 
 
 

                                          0            a                                    x 
 
 
 

      Приведенное выше определение относится к  случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. 

     Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x). 
 
 

Предел  функции при стремлении аргумента к бесконечности. 

      Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:   
 

      Графически  можно представить:    

           y       y 
 

           A       A 
 
 

           0       0

                                    x                    x 
 
 
 
 
 

      y       y

 

           A       A 
 
 

           0       0

                                  x       x 
 
 

Аналогично  можно определить пределы  для любого х>M и

 для любого х<M. 
 

Основные  теоремы о пределах. 
 

      Теорема 1. , где С = const. 

      Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а. 

      Теорема 2.

Доказательство  этой теоремы будет приведено  ниже. 

      Теорема 3.

      Следствие.  

      Теорема 4.     при  

      Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично  определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0. 

      Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и . 

      Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а. 

      Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а. 

     Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

 или

, т.е.

где М = e + ïАï

Теорема доказана. 
 
 
 
 
 

Бесконечно  малые функции. 
 

      Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

      Бесконечно  малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. 

      Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. . 

      Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).  

      Свойства  бесконечно малых  функций: 

1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

     Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых  теорем о пределах, приведенных выше. 

     Доказательство  теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const,  a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана. 
 

     Доказательство  теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const,  a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана. 

Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно  малыми. 

      Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D 

Записывается  . 

Собственно, если в приведенном выше определении  заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически  приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом: 

 
 
 

                a  x           a   x  a     x 
 
 
 
 
 

      Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.