Введение в математический анализ

Введение  в математический анализ. 
 

Числовая  последовательность. 

      Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n} 

      Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может  рассматриваться как функция  порядкового номера элемента.

Задать  последовательность можно различными способами – главное, чтобы был  указан способ получения любого члена  последовательности. 

      Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

                     {x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; … 

Для последовательностей  можно определить следующие операции: 

1. Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …
2. Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n}    = {x_n ± y_n}.
3. Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.
4. Частное последовательностей: при {y_n} ¹ 0.

 
 

Ограниченные  и неограниченные последовательности. 

      Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство: 

т.е. все  члены последовательности принадлежат  промежутку (-М; M). 

      Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что 

x_n £ M. 

      Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что 

x_n ³ M 

      Пример. {x_n} = n – ограничена снизу  {1, 2, 3, … }. 
 

      Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: 

Это записывается:    lim x_n = a.

      В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥. 

      Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая. 

      Пример.  Доказать, что предел последовательности lim . 

Пусть при n > N верно , т.е.  . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется. 

      Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2. 

      Итого: {x_n}= 2 + 1/n;    1/n = x_n – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n} = 2. 

      Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела. 

      Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

x_n ® a; x_n ® b;    a ¹ b.

Тогда по определению существует такое  число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана. 
 

      Теорема. Если x_n ® a, то . 

      Доказательство. Из x_n ® a следует, что . В то же время: 

, т.е.   , т.е. . Теорема доказана. 
 

      Теорема.  Если x_n ® a, то последовательность {x_n} ограничена. 

Следует отметить, что обратное утверждение  неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. 

      Например, последовательность не имеет предела, хотя  
 

Монотонные  последовательности. 

      Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

                         2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

                    3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

                              4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая 

     Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. 

      Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

               {x_n} = n – возрастающая и неограниченная. 

      Пример. Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая. 

      Найдем  член последовательности {x_n+1}=

Найдем  знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать. 
 

      Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} = . 

      Найдем  .  Найдем разность

, т.к.  nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает. 

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной  стороны. 

      Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. 

      Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность 

х₁ £ х₂ £ х₃ £ … £ х_n £ x_n+1 £ … 

Эта последовательность ограничена сверху: x_n £ M, где М – некоторое число.

     Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x_N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

     Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < x_N £ x_n,

x_n > a - e.

Отсюда a - e < x_n < a + e

-e < x_n – a < e    или    ôx_n - aô< e,    т.е. lim x_n = a. 

Для остальных  монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана. 
 
 

Число е. 

Рассмотрим  последовательность {x_n} = .

Если  последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле  бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

 Каждое слагаемое в выражении  x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

      Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства  следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя  к пределу, получаем

      Таким образом, число е заключено между  числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично  можно показать, что  , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:                                 

Найдем 

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше  представлен график функции y = lnx. 
 

Связь натурального и десятичного  логарифмов.