Ответ поясните.
В случае необходимости приведите пример,
опровергающий утверждение.
При введении
понятия функции необходимо показать
учащимся, что одна и та же функция может
быть задана по-разному. Это важно как
для усвоения ими многообразия аспектов
понятия «функция», так и для потребностей
практики. Приведем пример.
7 класс
- Функция задана таблицей. Задайте ее
графиком и формулой.
x |
-5 |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
5 |
y |
5 |
3 |
1 |
0 |
1 |
3 |
5 |
2. Функция
задана формулой
Задайте
ее другой формулой.
3. Задайте
функцию
, где
таблицей, другой формулой, графиком.
10 класс
1. Задайте
аналитически функции
и
, графики которых изображены на рисунках
(см. Рис. 2, 3).
Рис. 2
Рис. 3
2. Задайте
другими формулами функции
;
;
;
;
, предварительно указав область их определения.
При изучении
общего понятия функции каждая приводимая
в качестве примера и предлагаемая для
демонстрации того или иного понятия функция
рассматривается индивидуально, не ставится
вопрос о сходстве свойств этих функций.
Вслед за введением понятия функции и
ряда связанных с ним понятий переходят
к изучению классов функций. Функции, входящие
в один класс, обладают общностью аналитического
способа задания, сходными свойствами
и, соответственно, сходными особенностями
графиков. Изучение функций, входящих
в класс, чаще всего осуществляется по
следующей схеме:
1) рассматривается
ряд задач, в результате решения
которых появляются сходные по виду
формулы, задающие функции;
2) дается
определение функций данного
класса через указание общего
вида формулы, их задающей;
3) рассматриваются
задачи на подведение под понятие;
4) выясняется
смысл параметров в правой
части общей формулы через
рассмотрение типичных представителей
функций данного класса и построение
их графиков;
5) выясняется
вид графика функции в зависимости
от параметров и способы его
построения;
6) изучаются
свойства всего класса функций
и свойства подклассов, получаемых
при наложении определенных условий
на параметры, на примерах их типичных
представителей;
7) рассматриваются
разнообразные приложения.
Данная
схема не является застывшей: положение
и формулировка этапов 4, 5, 6 определяются
уровнем строгости изложения материала,
то есть соотношением наглядно-геометрических
и аналитических методов исследования
функций.
Исследовать
функцию, то есть изучить её свойства,
— это значит выяснить особенности изменения
значений переменой у при изменении значений
переменной х. Если функция задана графически,
то ее свойства изучаются, «прочитываются»,
по графику. Если функция задана формулой,
то ее исследование должно проводиться
аналитически, то есть с использованием
аппарата алгебры или аппарата дифференциального
исчисления. График функции, если есть
необходимость в его построении, строится
на основании проведенного исследования.
В противном случае многие, в частности
локальные (зависящие от значений функции
в некоторой окрестности точки
и в самой
), свойства функции могут быть не учтены
при построении графика. Исключения составляют
случаи, когда график получается из известного
путем преобразований и когда строят графики
функций
,
,
, где графики функций
и
заданы или известны. С основными преобразованиями
графиков учащиеся знакомятся в школьном
курсе математики. Арифметические же операции
с функциями в школе не определяются, их
введение производится неявно. Наблюдается
неосознанный перенос действия из числовой
области в область функций. Учащиеся не
затрудняются при нахождении, например,
значения функций
,
при конкретном значении х. Построение
графиков функций
,
,
из графиков функций
и
в общем виде не рассматривается.
При изучении
классов элементарных функций графики
строятся по точкам без предварительного
аналитического исследования или после
проведения частичного аналитического
исследования. После построения графиков
нескольких конкретных функций данного
класса, установления их расположения
в зависимости от параметров указываются
свойства рассматриваемых функций. Эти
свойства «прочитываются» по графикам,
обобщаются и присваиваются всем функциям
данного класса. На основании рассмотрения
графиков нескольких функций делаются
общие выводы. Проявляющиеся при таком
изучении теории логические пробелы: построение
графиков функций по точкам и общие выводы
на основе неполной индукции — вызваны
необходимостью раннего изучения функций
как математических моделей и недостаточностью
у учащихся знаний для проведения аналитического
исследования. Эти пробелы должны быть
пояснены учащимся после изучения темы
«Производная». Исследование всех изученных
ранее классов функций в общем виде с использованием
аппарата производной позволит учащимся:
А) отработать
схему исследования функций;
Б) при самостоятельном
исследовании проконтролировать свои
действия (так как свойства функций хорошо
знакомы);
В) повторить
основной материал функциональной линии;
Г) осознать
смысл параметров в формулах, задающих
тот или иной класс функций;
Д) обосновать
наличие у функций определенного класса
тех свойств, которые им ранее приписывались;
Е) установить
наличие у функций данного класса свойств,
которые ранее не рассматривались.
При первоначальном
построении графиков функций изучаемого
класса по точкам необходимо использовать
прием «загущения» точек на графике. Использование
приема «загущения» способствует созданию
первоначальных представлений о непрерывности.
Суть приема состоит в том, что сначала
в координатной плоскости отмечается
несколько точек, принадлежащих графику
функции, затем в результате наблюдения
выясняется, что все построенные точки
расположены на некоторой кривой, и, наконец,
устанавливается, что какое бы произвольное
значение аргумента из области определения
функции мы не взяли, соответствующая
ему точка графика функции располагается
на выделенной кривой. Только после выполнения
всех перечисленных действий делается
вывод о том, что полученная кривая является
графиком функции. Выполнив построение
графиков нескольких функций рассматриваемого
класса и убедившись, что графиками являются
кривые одного вида, учащиеся делают вывод:
графиком любой функции данного класса
является кривая данного вида. В дальнейшем
выделяются более простые способы построения
графиков функций данного класса исходя
из того, что вид графиков известен.
Программа
по математике для 7–9-х классов предусматривает
формирование у учащихся умения находить
по графику функции промежутки возрастания
и убывания функции, промежутки знакопостоянства,
нули функции, наибольшее и наименьшее
значение. В программе для старшей школы
говорится о том, что учащиеся должны «иметь
наглядные представления об основных
свойствах функций, иллюстрировать их
с помощью графических изображений». Однако
анализ результатов единого государственного
экзамена по математике, проводимого в
ряде регионов России, и в частности в
Новгородской области, в 2002–2006 годах свидетельствует
о том, что учащиеся легче справляются
с заданиями, в которых требуется использовать
непосредственно то или иное определение,
свойство, чем его графическую интерпретацию.
Это касается и использования учащимися
теоретического материала темы «Производная.
Применение производной». По-видимому,
в основной школе формированию наглядных
представлений о ряде общих свойств функций
уделяется недостаточное внимание, а в
старшей школе основной упор делается
на изучение формулировок определений
и свойств, их применение, соответствующая
графическая интерпретация либо не рассматривается
вообще, либо только обговаривается. Понимание
учащимися словесной формулировки определения,
свойства должно быть неразрывно связано
с соответствующими геометрическими представлениями.
Учитель должен предлагать учащимся задачи
не только на аналитическое исследование
свойств функции, но и на прочтение свойств
по графику, а также задачи, в которых часть
свойств устанавливается аналитически,
а часть — по графику. Например, нахождение
множества значений функции чаще всего
происходит после исследования и построения
графика функции. Использование геометрических
иллюстраций помогает учащимся глубже
осознать соответствующий теоретический
материал.
Конспект
урока алгебры в 7 классе по теме «Линейная
функция и ее график».
Цели урока: рассмотреть линейную функцию,
ее график и свойства, способ построения
графика линейной функции
Задачи урока:
Образовательные: введение понятия линейной
функции; отработка навыка распознавания
линейной функции по заданной формуле;
отработка навыка вычисления значения
функции по заданному значению аргумента,
построения графика функции; выработать
умение анализировать и находить правильное
решение проблемных ситуаций.
Развивающие: развитие логического мышления,
зрительной памяти, математически грамотной
речи, сознательного восприятия материала.
Воспитательные: воспитание познавательной
активности, чувства ответственности,
культуры общения.
Тип урока — урок изучения нового материала.
Основные знания и умения
1. Знание определения линейной
функции, прямой пропорциональности.
2. Иметь представление о графике
линейной функции.
3. Уметь строить график линейной
функции и работать с графиком.
4. Знать условия взаимного расположения
графиков линейных функций.
5. Уметь решать задачи по теме
как графически, так и аналитически.
Формы обучения: фронтальная, индивидуальная,
работа в парах
Оборудование: компьютер, мультимедийный
проектор, карточки с заданиями, рабочая
доска.
Ход урока:
I. Организационный этап.
а) Проверка готовности к уроку.
- Я рада видеть вас на уроке
математики. Проверим, все ли мы
приготовили к уроку.
Постановка цели и задач урока. Мотивация
учебной деятельности учащихся.
- Сегодня у нас урок изучения
нового материала по теме: «Линейная
функция». Подумайте, что бы вы
хотели узнать, изучая эту тему,
какие цели нам нужно поставить
перед собой?
Ученики:
-Узнать, что такое линейная функция, почему
она так называется.
- Выяснить, нужны ли нам эти
знания в жизни.
Учитель обобщает ответы учащихся и формулирует
совместно с ними задачи урока.
Актуализация знаний.
Учитель: Проведем «зарядку для ума».
Что называется функцией?
Что называется областью определения
функции?
Что является множеством значений функции?
- Приведите примеры функциональной
зависимости.
- Что называют областью определения
функции?
- Что называют областью значения
функции?
- Как называют переменную х?
переменную у?
- Что мы называем графиком
функции?
- Какими способами можно установить
зависимость между двумя величинами?
(с помощью формулы (аналитический), графика,
таблицы, парой чисел).
Задание (на доске уже есть координатная
плоскость): Найти на координатной плоскости
точки с координатами (2;1), (5;3) и т.д.
- Назовите координаты точек
С,D, Fна плоскости.
- Сколько точек нужно иметь
на плоскости, чтобы провести 1 прямую?
- Подпишите в тетради число
и «классная работа»
Первичное усвоение новых знаний.
Задача 1. Мама купила несколько конфет
по цене 5 рублей за конфету и одну шоколадку
по цене 65 рублей. Сколько она заплатила
за всю покупку? Составьте выражение, с
помощью которого можно подсчитать стоимость
покупки.
Как вы думаете, от чего зависит стоимость
покупки?
Задача 2.
На шоссе расположены пункты А и В, удаленные
друг от друга на 20 км.
Мотоциклист выехал из пункта Вв направлении,
противоположном А, со скоростью 50 км/ч.
На каком расстоянии s (км) от пункта А будет
мотоциклист через t часов?
От чего зависит расстояние от пункта
А до мотоциклиста, если скорость и расстояние
АВ постоянны?
- Какая формула выражает зависимость
расстояния от времени движения?
Давайте вспомним общую формулу, знакомую
вам из курса физики
s = vt.
Посмотрите на таблицу. Давайте разберемся,
как получены значения расстояния.
Время, ч |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Расстояние, км |
20 |
70 |
120 |
170 |
220 |
- Попробуйте записать формулу,
выражающую зависимость расстояния
от времени движения.