Методика изучения функций в 7-9 классе

Критерии:

- Если зависимость задана таблицей, то в первой строчке не должно быть одинаковых чисел.

- В случае, когда функция задана графически, то любая прямая, параллельная оси Оу, должна пересекать график не более чем в одной точке.

- Если функция задана аналитически, то нужно следить за единственностью значений соответствующих зависимостей, например, .

При введении понятия «функция» следует обратить внимание на переход от одной формы задания функции к другой. В школе, как правило, он осуществляется по схеме: аналитическая модель ® таблица ® график. Для введения конкретных функций лучше использовать схему: словесная модель ® таблица ® график ® аналитическая модель.

Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком, но не всякая (некоторые функции, заданные графически, не могут быть заданы формулой, например, кардиограммы).

При введении записи необходимо, чтобы учащиеся понимали смысл буквы f, которая означает закон соответствия.

Способы исследования функций:

Содержание этой учебной задачи заключается в том, чтобы средствами, которыми владеют учащиеся в это время, устанавливать все свойства функции.

Выделяют три способа исследования функции: аналитический (исследование элементарными средствами и исследование с помощью производной), графический и комбинированный метод.

Результатом аналитического метода является построение графика функции. При исследовании используются уравнения и неравенства.

При графическом методе по точкам строится график, и с него считываются свойства.

Комбинированный метод используется в двух смыслах:

1. Часть свойств обосновывается аналитически, а часть – графически;

2. Сначала строится график по точкам, считываются свойства, а затем они доказывается без всякой опоры на график.

Необходимо уже в основной школе чётко разграничивать языки, на которых рассматриваются свойства функций: словесный, графический, аналитический.

 

Схема для чтения свойств функции :

Свойства функции	Аналитически это означает	Графически это означает
1. Область определения	Переменная х в формуле может принимать значения …	Это множество абсцисс…
2. Область значений	Переменная у в формуле может принимать значения …	Это множество ординат точек графика …
3. Нули функции	при х =…(корни уравнения)	Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ох
4. Функция принимает значения: А) больше а Б) меньше а	А) , если х ... Б) , если х ...	А) График расположен выше прямой у = а при х =... Б) График расположен ниже прямой у = а при х =...
5. Функция принимает значения, равные значениям функции	, если х =...	График функции пересекает график функции , при х =...
6. Функция принимает значения А) больше значений функции Б) меньше значений функции	А) , если х ... Б) , если х ...	А) График функции расположен выше графика функции , при х =... Б) График функции , расположен ниже графика функции , при х =...
7. А) функция возрастает на множестве М Б) функция убывает на множестве М	Пусть х1, х2ÎМ, А) если , то Б) если , то	А) с увеличением абсцисс точек на множестве М график функции «поднимается» вверх. Б) с увеличением абсцисс точек на множестве М график функции «опускается» вниз.

 

 

2.2. Схема изучения конкретных функций:

 

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

На этом этапе изучения учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции, исходя из соображений практики или необходимости дальнейшего развития теории.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.

На этом этапе изучения учащиеся получают чёткое представление о данной функции, о её характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.

3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиком функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.

4. Исследовать функцию на основные свойства: области определения и значений, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, чётность или нечётность (или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность.

5. Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.

 

Эта методическая схема является своеобразным планом – программой для изучения любой функции, но нужно иметь в виду, что содержание материала и практика обучения вносят в неё соответствующие коррективы.

Итак, при изучении функциональной линии необходимо в 5-6 классе проводить функциональную пропедевтику. Понятие «функция» лучше вводить конкретно-индуктивным путём, при использовании генетического подхода, а исследование конкретных функций проводить комбинированным методом.

2.3. Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в VII классе.

Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы, обладающие общностью аналитического способа задания функции из него, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода независимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебры вслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс – линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса.

Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций — линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.

Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.

Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале изучения темы приема построения графиков линейной функции.

Первый способ. Использование «загущения» точек на графике. Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:

А) нанесение нескольких точек;

Б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой;

В) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции.

Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и любой линейной функции — прямая, т. Е. К выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных примеров.

Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять второй — он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна и только одна прямая.

Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними.

3. Методика изучения понятия «функция» и общих свойств функций

При введении понятия функции, осуществляемого, как правило, конкретно-индуктивным способом, необходимо установить по смыслу предлагаемых для рассмотрения задач, что: а) значения переменной х принадлежат некоторому множеству; б) значения переменной  у  принадлежат некоторому множеству; в) каждому значению переменной х соответствует одно и только одно значение переменной у.

Для усвоения учащимися этих характерных признаков понятия функции применяются различные способы задания функции, основными из которых являются задание функции формулой, таблицей, графиком. Могут быть предложены следующие виды заданий (7 класс).

1. Какие  из формул а) – д)  задают  функцию? Ответ объясните. Для функций  укажите те значения, которые  принимает переменная у.

А) , х принимает значения  –1, ; 0; ; 2; ;

Б) , х принимает значения   0; 2,25; ; 7,001;

В) ; х принимает значения  –3, 75; –2; 0; 2,5; 3;

Г) ; х принимает значения  –2, –1; 2; 1;

Д) ; х принимает значения  –1; 0; 3.

2. Какие  из таблиц  а) – в) задают функцию? Ответ объясните. Для функций  укажите область определения  и множество значений.

А)

x	-3	0	-2	3	4
y	5	1	-5	2	1

 

 

 

Б)

x	1,1	1,2	1,3	1,4
y	2	-2	2	-2

 

 

 

В)

x	-3	-2	0	-3
y	2	1	2	1

 

 

 

3. Какие  кривые на рисунке  (см. Рис. 1, а – г) задают функцию? Ответ объясните. Для функций укажите область определения и множество значений.

А)                                                          Б)

В)                                                         Г)

 

Рис. 1

 

После решения каждой задачи желательно обобщать предложенные учащимися обоснования. Например: Если зависимая переменная в формуле находится под знаком модуля или возводится в квадрат, то соответствующая формула не задает функцию. Если в таблице есть столбцы с одинаковыми значениями аргумента и различными значениями зависимой переменной, то таблица не задает функцию. Если существует прямая, параллельная оси ОУ, пересекающая кривую в двух и более точках, то кривая не является графиком функции. Другими словами: если существует хотя бы одно х, по которому находится два и более значений у, то имеем дело не с функцией.

Ответ  на  второй вопрос третьего задания будет звучать так (в 7-м классе с понятием числового промежутка учащиеся еще не знакомы): область определения функции на рисунке б) — это числа –3, 3 и все числа от –3 до 3, а множество значений — числа –2, 4 и все числа от –2 до 4. Важно добиться от учеников понимания того факта, что область определения находится на оси ОХ (позже: числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией графика на ось ОХ), а множество значений — по оси ОУ (позже: числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией графика на ось ОУ) в том случае, когда функция задана графиком. Формированию умения находить область определения и множество значений функции, заданной графически, происходит постепенно при изучении алгебры в 7–9-х классах, в процессе периодического обращения к подобным задачам.

Важными видами задач, предшествующими приведенным выше, являются задачи на нахождение значения зависимой величины по значению независимой в том случае, когда функция задана формулой, таблицей или графиком, и нахождение значения независимой величины, которому соответствует известное значение зависимой. Таких задач, как правило, много в учебниках.

Задания, аналогичные тем, примеры которых приведены выше, должны предлагаться на соответствующем для учащихся уровне при повторном обращении к понятию функции в старших классах. Приведем пример.

 

Верно ли что:

А) ни одна из замкнутых кривых, изображенных на координатной плоскости, не является графиком функции;

Б) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси абсцисс, является графиком функции;

В) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси ординат, является графиком функции;

Г) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси ординат, может являться графиком функции;

Д) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси абсцисс, может являться графиком функции?