Анализ и прогнозирование временных рядов

 

    Непосредственное  вычисление (вычисление «вручную») вектора  оценок параметров регрессии а весьма громоздко, т.к. матрица независимых переменных Х имеет довольно высокую размерность (20 х 3), матрица Y – размерности (20 х 1). В табл. 8 приведены размерности матриц – результатов промежуточных действий.

    Таблица 8

 

    Задача  существенно упрощается при использовании  средств Excel. Операции, предписанные формулой целесообразно проводить с помощью следующих встроенных в Excel функций:

• МУМНОЖ – умножение матриц,
• ТРАНСП – транспонирование матриц,
• МОБР – вычисление обратной матрицы.

    Для вычисления вектора оценок параметров регрессии а в Excel необходимо выполнить следующие действия:

    1. Ввести данные .

    2. Выделить диапазон ячеек для записи вектора а, соответствующий его размерности (3 х 1) .

    3. Используя встроенные в Excel функции, ввести формулу, определяющую вектор а.

    4. Нажать одновременно клавиши   CTRL + SHIFT + ENTER. Появится результат (рисунок 14).

    Таким образом, имеем

.

    Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса  потребительских расходов можно  записать в виде:

. 

    

    Рисунок  14 - Результат вычислений – вектор оценок

    параметров  регрессии а 

    Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого момента времени t.

    Применение  инструмента Регрессия

    Для проведения регрессионного анализа  с помощью Excel выполните следующие действия:

    1) выберите команду Сервис => Анализ данных;

    2) в диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

    3) в диалоговом окне Регрессия в поле «Входной интервал Y» введите адрес диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную Y. В поле «Входной интервал X» введите адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных (переменные Х₃, Х₅). Если выделены  заголовки столбцов, то установить флажок «Метки в первой строке»;

    5) выберите параметры вывода. В  данном примере – установите  переключатель «Новая рабочая книга»;

    6) в поле «Остатки» поставьте  необходимые флажки;

    Результаты представлены на рисунке  15 и заключены в таблицах. 

    Пояснения к таблице «Регрессионная статистика» (рисунок 15)

    Таблица 9

 

    

    Рисунок  15 -Результаты регрессионного анализа, проведенного

    с помощью Excel 

    Пояснения к таблице «Дисперсионный анализ»  (рисунок 15)

    Таблица 10

 

    Во  втором столбце таблицы дисперсионного анализа (рисунок 15) содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁, а₂, в третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, в четвертом – f-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии. 

    

Рисунок  16 - График остатков 

    Оценка  качества модели

    В таблице «вывод остатка» (рисунок  15) приведены вычисленные по модели значения и значения остаточной компоненты е.

    Исследование  на наличие автокорреляции остатков проведем с помощью d-критерия Дарбина – Уотсона. Для определения величины d-критерия воспользуемся расчетной таблицей 11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Таблица 11

 

    Имеем:

. 

    В качестве критических табличных уровней при n = 20, двух объясняющих факторах при уровне значимости γ = 0,05 возьмем величины  d_L = 1,10  и   d_U =1,54.

    Расчетное значение попало в интервал от  d_L = 1,1 до d_U =1,54  (рисунок 17)

 

    

0        d_L    d   d_U  2        4–d_U       4– d_L         4 

Рисунок 17 - Сравнение расчетного значения d-критерия

Дарбина – Уотсона с критическими значениями d_L и d_U 
 

    Так как расчетное значение d-критерия Дарбина–Уотсона попало в зону неопределенности, то нельзя сделать окончательный вывод об автокорреляции остатков по этому критерию.

    Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:

.

    Коэффициенты  автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным

.

    Если  коэффициент автокорреляции первого  порядка r₁

находится в интервале

–1,96 · 0,224 < r₁ < 1,96· 0,224,

то можно  считать, что данные не показывают наличие  автокорреляции первого порядка.

    Используя расчетную таблицу 6, получаем:

    

.

    Так как

    –0,4782 < r₁ = 0,3846 < 0,4782,

то свойство независимости остатков выполняется.

    Вычислим  для построенной модели множественный  коэффициент детерминации

= 1 –  23335,3/45904,95 = 0,4917. 

    множественный коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием включенных в модель факторов Х₂ и Х₅. Т.о., около 50 % вариации зависимой переменной (объема реализации) в построенной модели обусловлено влиянием включенных факторов Х₂ (расходы на рекламу) и Х₅ (индекс потребительских расходов).

    Проверку  значимости уравнения регрессии проведем на основе F-критерия Фишера

.

    Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95, степенями свободы

    v ₁ = k = 2

    и

    v₂ = (п – k – 1) = 20 – 2 – 1 = 17

составляет  F_табл = 3,5915.

    Поскольку

 > F_табл = 3,5915,

то уравнение  регрессии следует признать адекватным.

    Значимость  коэффициентов уравнения регрессии  а₁ и  a₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента: 

,

.

    Табличное значение, t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и степенях свободы (20 – 2 –1) = 17 составляет . Так как

> ,

> ,