Порядковая теория полезности. Кривые безразличия. Оптимальный выбор потребителя

Математически это означает , что задается общая  функция полезности от потребления  за определенный период времени n-го количества товаров:

                                            TU=U (q_1, q_2. …… q_n).

где q –количество товаров, включенных в потребительский набор.

Функция полезности показывает количественную зависимость между объемом потребления каждого из n благ за данный промежуток времени и совокупной полезностью блага, отражающей индивидуальные предпочтения потребителя.

Как и  любая другая функция, функция полезности может быть представлена в виде таблицы, графика или уравнения.

Если  отвлечься  от отдельных случаев  функции полезности , то для большинства  товаров и услуг действует  следующая закономерность :  чем  больше объем потребления какого-либо товара , тем больше значение совокупной полезности , получаемое потребителем.

Изменение ( или приращение) совокупной полезности  отражается в показателе предельной полезности.

Предельная  полезность (marginal utility , MU)- это дополнительная полезность , получаемая человеком от потребления одной дополнительной единицы данного блага за единицу времени.

Математически предельная полезность является первой производной функции совокупной полезности по количеству данного блага  и рассчитывается по формуле :

                                     MU= YU (q)= d(TU)/dq,

где    d (TU)- приращение совокупной полезности;

         dq – приращение количества потребляемого блага.

Существует  множество уравнений , которые могут  описывать функцию совокупной полезности, однако наиболее простым и наиболее часто применяемым является общее уравнение кубической функции:

                                   TU=a+bq+cq²-dq³

где  q- количество потребленного товара;

       a,b,c,d- положительные константы.

Если  последовательное потребление какого-либо блага постепенно приводит человека к состоянию насыщенности, то дополнительная полезность от использования одной дополнительной единицы данного блага начинает сокращаться. Эта закономерность имеет универсальный характер и называется законом убывания предельной полезности, или первым закон Госсена. Закон назван так в честь немецкого экономиста Германа Госсена (1810—1858), впервые сформулировавшего соответствующий принцип.⁵

Начиная с некоторого момента, дополнительная полезность от потребления одного дополнительного блага уменьшается по мере того, как возрастает объем потребления данного блага.

       Математически это означает, что вторая производная обшей полезности по количеству данного блага является отрицательной величиной.

Принцип убывания предельной полезности был использован английским экономистом А. Маршаллом (1890) для объяснения знаменитого парадокса воды и алмазов.

  Суть  парадокса заключалась в том, что на рынке алмазы ценятся неизмеримо дороже, чем вода, и в то же время все понимают, что если без алмазов человек может обойтись, то без воды выжить невозможно.

  Объяснение  Маршалла состояло в следующем. Цена товара определяется не его совокупной полезностью для человека, а той  предельной полезностью, которую человек  извлекает из последнего глотка воды. Другими словами, стоимость воды определяется той суммой денег, которую индивидуум захочет заплатить, чтобы получить дополнительную меру воды. В силу того, что предельная ценность убывает по мере возрастания количества потребленной воды, а запасов воды на земле существенно больше, чем запасов алмазов, вода имеет более низкую стоимость  при обмене, чем алмазы.

Рассмотрим  конкретные задачи 1 и 2.

                                                                                                                   Задача 1.1

                                  Определение точки насыщения

Предположим, что  экспериментальным путем была выведена функция полезности от чтения  учебника слушателем бизнес-школы: TU=130q- - 2,5q² , где q — количество прочитанных слушателем страниц. Сколько страниц прочтет слушатель, прежде чем окажется в точке насыщения?

Решение

В точке насыщения  функция совокупной полезности достигает  своего максимума и дальнейшее потребление блага (в этом примере — чтение учебника) ведет лишь к сокращению полезности. В точке насыщения предельная полезность MU = 0.

 MU = dTU/dq = 130 - 5q.

Приняв функцию  предельной полезности равной нулю, получаем

130 - 5q = 0;

q = 26 (страниц).

Таким образом, 26 страниц непрерывного чтения подведут учащегося к точке насыщения.

                                                                                                                  Задача  1.2

                           Закон убывания предельной полезности

Аналогичным образом  выведена функция полезности слушателя от непрерывного сна:

TU = 18q + 7q - (1/3)q³, где q — часы сна.

Через сколько  часов (q) у человека начинает действовать закон убывания предельной полезности, и удовольствие от дополнительных часов отдыха будет сокращаться?

Решение:

Очевидно, что MU начнет уменьшаться в точке, где функция предельной полезности имеет свое максимальное значение:

MU = dTU/dq=T8+Uq-q².

Приравняв dMU/dq к нулю и решая это уравнение относительно q, получим q = 7 (часов) — степень потребления, при которой начинается уменьшение MU.

         Если известны или могут быть оценены потребительские предпочтения и функции потребительской полезности, то можно судить о том, какие товары и услуги потребители будут или не будут покупать на рынке.

Для дальнейшего  анализа дополним сделанное предположение о рациональности потребителя допущениями о независимости рассматриваемых функций полезности (функция полезности одного товара или услуги не зависит от степени потребления других благ) и о полной информированности потребителей. Каждый потребитель обладает всей необходимой для принятия решений информацией, вполне определенными вкусами и предпочтениями; знает, какие товары и услуги доступны для приобретения; качественные характеристики этих товаров и их способность удовлетворять его желания; цены, по которым они продаются.

             С учетом принятых допущений  проанализируем поведение отдельного  потребителя, выбирающего комбинацию  из двух товаров (q_1, q_2,) и располагающего доходом R, равным 40 руб. Эксперимент позволил выявить приведенные в табл. 1 потребительские предпочтения для двух товаров (q_1, q_2,) в баллах. Рыночные цены товаров соответственно р₁= 3 руб., p₂ = 5 руб. Неизрасходованные деньги, отложенные в виде сбережений, также имеют свою предельную полезность MUs для потребителя.

                                                                                                               Таблица 1.1

                      Потребительские предпочтения индивидуума    

         Как видно из таблицы, наибольшее удовольствие потребителю принесло бы потребление 5 ед. первого товара (141 ед. полезности), 6 ед. второго товара (220 ед. полезности) и сбережение 1 руб. (9 ед. полезности). Однако на это потребовалось бы 46 руб. (5x3 руб. + 5x6 руб. + 1), которых у человека нет.

Критерием правильности потребительского выбора является не совокупная и даже не предельная полезность, а предельная полезность на 1 руб. затрат (MU/P).

            Прибавочное удовлетворение, получаемое на 1 руб. затрат, является наилучшим критерием, поскольку объединяет и фактор удовлетворения, и фактор затрат, а оба эти фактора необходимы для обоснованного сравнения товаров между собой.

           В рассматриваемом примере потребитель получит наибольшее удовлетворение, распределяя свой доход (40 руб.) следующим образом: 4 ед. товара q₁, 5 ед. товара q₂ и оставшиеся 3 руб. останутся в сбережениях. Любая другая комбинация (возможные варианты читатель может рассмотреть самостоятельно) сократит совокупную полезность индивидуума.

          С учетом полученных результатов сформулируем основное условие потребительского оптимума, или второй закон Госсена.

          Для максимизации полезности потребитель должен таким образом распределить свой ограниченный бюджет, чтобы предельные полезности на один рубль, затраченный на последнюю единицу каждого товара, равнялись между собой:

MU₁/P₁= MU₂/P₂ =... = MU_n /P_{n  ,}

а сумма всех затрат потребителя на товары и услуги плюс сбережения S соответствовала его денежному доходу R, т.е.

P₁ Q₁, + P₂Q₂ +... + P_n Q_n + S = R.

  Если  эти предельные полезности не равны, то совокупное удовлетворение может  быть увеличено путем уменьшения расходов на товары с меньшей степенью полезности и увеличения затрат на товары с большей степенью полезности.

                                                                                                         Приложение 1.1

                      Определение оптимальной потребительской корзины                методом Лагранжа