Лекции по "Метрологии"

Лекция 7

 

Обработка результатов многократного измерения

Равноточные измерения

Равноточными называются измерения, выполняемые на одних и тех же приборах, одним  и тем же оператором, в одних и тех же условиях.

При обработке результатов многократного измерения с равноточными значениями отсчета следует выполнять следующие операции:

1. Анализ априорной  информации. Определение значения  поправки  .

2. Получение n независимых значений отсчета .

3. Перевод всех  значений отсчета в значения показаний .

4. Внесение поправок  и получение n независимых результатов измерений:

  .

5. Определение  оценки среднего значения результата измерения .

6. Определение  оценки среднего квадратического  отклонения результата измерения:

.

7. Исключение  ошибок по правилу трех сигм:

.

Если отклонение результата отдельного измерения от среднего арифметического значения больше, чем три сигма, то его считают ошибочным и его отбрасывают, после чего повторяют операции 5, 6, 7.

Если отклонение результата отдельного измерения от среднего арифметического значения меньше, чем три сигма, то проводится проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения.

8. Проверка нормальности  закона распределения вероятности результата измерения. Если массив экспериментальных данных n > 40…50, то  проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения проводится по критерию К Пирсона:

.

Если массив экспериментальных данных n < 40…50, но больше 10…15, то  проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения проводится по составному критерию.

Если же n < 10…15, то  проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения не проводится, а гипотеза о нормальности закона распределения вероятности (ЗРВ) результата измерения принимается или отвергается на основании априорной информации.

9. Определение  стандартного отклонения среднего  арифметического.

Если распределение вероятности подчиняется нормальному закону, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется по формуле:

.

Если же распределение вероятности не подчиняется нормальному закону, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется по формуле:

.

10. Выбор доверительной  вероятности Р и определение параметра t.  Если  распределение вероятности результата измерения подчиняется нормальному закону, то параметр t определяется по табличным значениям функции Лапласа при заданной доверительной вероятности. Если распределение вероятности результата измерения не подчиняется нормальному закону, то параметр t определяется по неравенству Чебышева:

,

Задавшись доверительной вероятностью Р.

11. Расчет половины  доверительного интервала .

13. Определение  интервалов, в которых находится  значение измеряемой величины:

.

Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения

Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения проводится после исключения ошибок. Для проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения на основании экспериментальных данных строится гистограмма.  Иногда по виду гистограммы можно с уверенностью заключить, что результата измерения подчиняется или не подчиняется нормальному ЗРВ. Например, если гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1а, то с уверенностью можно заключить, что результата измерения не подчиняется нормальному ЗРВ.

Если гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1б, то можно предположить, что результат измерения подчиняется нормальному ЗРВ.

Существует несколько критериев согласия, по которым проверяется гипотеза о соответствии экспериментальных данных тому или иному ЗРВ.  Наибольшее распространение получил критерий согласия (критерий Пирсона).

 

            а)                                                  б) 

Рисунок 1

 

При проверке гипотезы о соответствии эмпирической функции распределения теоретическому осуществляются следующие операции:

1. строится ранжированный ряд результатов измерений;
2. определение частоты появления i–го результата измерений – ;
3. вся область изменений величины разбивается на интервалов. Количество интервалов определяется по формуле:

;

4. ширина интервала определяется по следующей формуле:

,

где n – объем выборки, количество измерений;

5. на основании выбранной теоретической функции , в данном случае нормальный закон распределения вероятности, определяют вероятность попадания результата измерения в интервал ; :

;

6. умножая полученные вероятности на n, получаем теоретические частоты , т. е. частоты, которые следует ожидать в интервале ( ; ), если гипотеза верная;
7. определение меры расхождения эмпирического закона распределения от теоретического ЗРВ результата измерения: 

.

Если расхождение случайное, то подчиняется – распределению К. Пирсона.

Интегральная функция распределения вероятности К. Пирсона определяет вероятность того, что случайное число примет значение меньшее аргумента этой функции 0. Поэтому, задавшись значением интегральной функции распределения F( 0), можно проверить, больше или меньше его аргумента 0   вычисленное значение .

Если вероятность, с которой принимается решение, соответствует значение 0, то при всех < 0  гипотеза будет приниматься, а при всех > 0 – будет отвергаться.

Составной критерий. При n< 10…15 для проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения применяется составной критерий.

При проверке по составному критерию выполняются следующие действия:

1. сначала рассчитывается величина

;

2. проверяется условие , где и зависят от вероятности, с которой принимается решение (табл. 1);
3. если это условие соблюдается, то проверяются «хвосты» теоретического и эмпирического законов распределения вероятности.

При 10 £ n £ 20 считается допустимым отклонение одного из независимых результатов значений результата измерения от среднего значения больше чем на , т.е. проверяем условие: .

При 20 £ n £ 50 допускается отклонение двух значений результата измерения от среднего значения больше чем  .

 

Таблица 1

n	P=0,90		P=0,95		P=0,99
11	0,7409	0,8899	0,7153	0,9073	0,6675	0,9359
16	0,7452	0,8733	0,7236	0,8884	0,6829	0,9137
21	0,7495	0,8631	0,7304	0,8768	0,6950	0,9001
26	0,7530	0,8570	0,7360	0,8686	0,7040	0,8901
31	0,7559	0,8511	0,7404	0,8625	0,7110	0,8827
36	0,7583	0,8468	0,7440	0,8578	0,7167	0,8769
41	0,7604	0,8436	0,7470	0,8540	0,7216	0,8722
46	0,7621	0,8409	0,7496	0,8508	0,7256	0,8682
51	0,7636	0,8385	0,7518	0,8481	0,7291	0,8648

 

При соблюдении обоих условий, т. е.

гипотеза о нормальности закона распределения принимается. Если хотя бы один из условий не выполняется, то гипотеза отвергается.

 

Неравноточные измерения

При обработке результатов неравноточных измерений учитывается ценность информации, выполненной с особой точностью. Например, все значения показания, получены с помощью разных средств измерений.

Более точными являются измерения с малой  дисперсией.

Для учета важности измерений, выполненных с большой точностью, среднее арифметическое определяют по формуле:

,

где - вес i–го результата измерения;

- i–й результат измерения.

Это так называемое среднее взвешенное.

Вес i–го результата измерения определяется как величина обратно пропорциональная дисперсии:

.

Дисперсия среднего взвешенного равна:

,

где n – количество измерений; 

– среднее квадратическое отклонение i–го результата измерения.