Лекции по "Метрологии"

Лекция 15

Режимы работы средств измерений

Установившийся режим работы СИ

Указатель отсчетного устройства останавливается на одной из отметок шкалы спустя некоторое время t после начала измерения физической величины постоянного размера. У показывающих измерительных приборов это время называется временем установления показания, а режим работы средств измерений после установления показания — установившимся режимом.

У измерительных преобразователей реакция на входное воздействие называется откликом, или выходным сигналом. Это может быть изменение длины столба термометрической жидкости (рис.1).

 

 

Рисунок 1 – Установившийся режим работы СИ

 

Время установления выходного сигнала называется временем реакции средства измерений. Зависимость между входным воздействием и откликом на него измерительного преобразователя, а также измерительного прибора с неименованной шкалой или со шкалой, отградуированной в единицах, отличных от единиц входной величины, называется функцией преобразования. В установившемся режиме функция преобразования представляет собой линейное (например, Х=aQ) или нелинейное алгебраическое уравнение   статики (например, Х=aQ2 или Х=algQ) (рис.2).

 

а – линейная, б – квадратическая, в – логарифмическая функции преобразования

Рисунок 2 – Функции преобразования в установившемся режиме средств измерений

 

Функция преобразования, принимаемая для всех средств измерений данного типа, называется номинальной.

Конкретный экземпляр средства измерений имеет индивидуальную функцию преобразования, несколько отличающуюся от номинальной. Нередко поэтому в нормативно-технических документах на средства измерений нормируются пределы, в которых находится их индивидуальная функция преобразования. Линейную функцию преобразования, проходящую через начало координат, допускается представлять коэффициентом преобразования в виде числа. В этом случае нормируются пределы, в которых находится его значение.

Сведения о функции преобразования, содержащиеся в нормативно-технических документах, предназначены для использования в случаях, когда к точности измерений не предъявляется высоких требований. В противном случае может возникнуть необходимость уточнения индивидуальной функции преобразования конкретного экземпляра средств измерений. Процедура экспериментального определения функции преобразования отдельного средства измерений в установившемся режиме называется градуировкой.

При градуировке средств измерений находится зависимость между известными входными воздействиями и откликами на них в установившемся режиме. Различают градуировку в отдельных  точках диапазона измерений, при которой функция преобразования может быть представлена, например, таблицей, и построение градуировочной характеристики, которая аппроксимируется аналитическим выражением.

Градуировка в отдельных точках диапазона измерений сводится к обычной обработке экспериментальных данных. Так например, при градуировке ртутного термометра в двух реперных точках (при температуре таяния льда и температуре кипения воды) получают по п значений длины ртутного столба в каждой точке. Затем оба массива экспериментальных данных обрабатывают.   В результате с определенной точностью и достоверностью устанавливают,   какой длине ртутного столба соответствует температура 0° С, и какой 100° С.

Построение градуированной характеристики предполагает две возможности. Первая из них заключается в том, что вид функции преобразования известен (линейная, квадратичная, логарифмическая и т. п.), но неизвестны коэффициенты, входящие в соответствующее алгебраическое уравнение. Вторая возможность состоит в необходимости аппроксимации экспериментальных данных аналитической зависимостью.

Если вид функции преобразования X=f(Q) известен, то задача состоит в том, чтобы в ее представлении полиномом соответствующей степени

f (Q) = ао + а1Q + а2Q2 +. . .+ аm Qm

найти такие значения коэффициентов a0, а1 , а2, . . . , am, при которых эта зависимость, называемая тогда уже градуировочной характеристикой, наилучшим образом соответствовала бы экспериментальным данным.

На рис. 3 показаны некоторые варианты построения линейной градуировочной характеристики по экспериментальным данным, нанесенным кружочками. Вопрос о том, какой из вариантов лучше, должен решаться на основе какого-то критерия. Если значения входных воздействий Q1, Q2,. . . ,Qn известны точно, а отклики на них подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то обычно используется критерий наименьших квадратов. Минимизируется сумма квадратов отклонения откликов по оси ординат от градуировочной характеристики:

.

Рисунок 3 – Построение линейной градуировочной характеристики по экспериментальным данным

 

Коэффициенты ао, а1, а2, . . . , аm, .определяющие оптимальную по критерий наименьших квадратов градуировочную характеристику, находятся из условия равенства нулю производных от этой суммы по каждому коэффициенту.

Если вид функции преобразования неизвестен, то возникает задача отыскания наилучшей аппроксимации экспериментальных данных, полученных при градуировке, аналитической зависимостью (рис. 4). Решение ее методом наименьших квадратов отличается от решения предыдущей задачи только тем, что степень полинома

f (Q) = а0 + а1Q + а2Q2 + ...

неизвестна. Она устанавливается на основании требований к точности градуировки. После этого минимизируется выражение (13). Количество уравнений для определения коэффициентов а0, а1, а2,… всегда равно числу неизвестных, так что задача имеет единственное решение. В специальной литературе она иногда называется задачей сглаживания.

 

Рисунок 3 – Построение градуировочной характеристики при неизвестной функции преобразования

Переходный режим

При t < tу режим работы средства измерений называется переходным (рис.1). В этом режиме сказываются инерционные свойства средства измерений. Оно не успевает должным образом отреагировать на изменение  входного  воздействия Q (t), в результате чего выходной сигнал оказывается искаженным по сравнению с входным. В переходном режиме отклик средства измерений Х(t) не соответствует значению измеряемой величины, установленному при градуировке шкалы.

Переходный режим работы средства измерений описывается линейным или нелинейным дифференциальным уравнением динамики.

В общем случае у линейных средств измерений уравнение динамики является неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:

                                     (1)

где Q (t) — известное входное воздействие, называемое также входным сигналом, вызывающим отклик на него средства измерения Х(t) — выходкой сигнал.

Классический метод решения уравнения  динамики. Решением неоднородного уравнения (1) является сумма общего решения Хо однородного уравнения

                                            (2)

и частного решения уравнения (1):

            

Для решения однородного уравнения (2) используется его алгебраизация, основанная на свойстве дифференцирования экспоненциальной функции. При уравнение (2) принимает вид:

Это равенство удовлетворяется, если

                                               (3)

т. е. задача сводится к отысканию корней уравнения (3), которое называется характеристически.  Если все корни , , . . . , , . . . , характеристического уравнения разные, то каждому из них соответствует решение однородного уравнения (2). Общее решение в этом случае

где коэффициенты , , . . . , — произвольные постоянные.

Если какой-нибудь корень характеристического уравнения является корнем k-й кратности, то

, , …,

тоже служат решениями однородного уравнения (2). Общим решением уравнения (2) в этом случае служит линейная комбинация

Наконец, если среди корней есть комплексные (они могут быть только попарно сопряженными при действительных коэффициентах аi, например, если ; , то в соответствующих членах общего решения функции и должны быть заменены на и t. Получающиеся при этом выражения вида могут быть представлены в виде /

Частное решение уравнения (1) зависит от вида функции Q(t).

Операторный метод решения уравнения  динамики. При сложных функциях Q(t) отыскание частного решения уравнения (1) превращается в проблему. В этих случаях пользуются операторным методом решения уравнения динамики.

Идея операторного метода, предложенного в конце XIX века английским инженером Хевисайдом для расчета переходных процессов в электрических цепях, состоит в алгебраизации уравнения динамики, которая достигается путем перехода от временных зависимостей к зависимостям от комплексного параметра посредством интегрального преобразования Лапласа:

                                                                                    (4)

где  и называются изображениями и , а и - оригиналами и . Сама же операция  (4) представляет собой прямое преобразование Лапласа и обозначается:

;

.

Изображение первой производной

Интегрирование по частям дает

.

Аналогично можно показать, что

,

…………………………………………

.

С учетом этих соотношений дифференциальное уравнение динамики (1) при нулевых начальных условиях преобразуется в алгебраическое

.

Отношение

называется передаточной функцией. Как и уравнение (1), передаточная функция характеризует инерционные свойства средства измерений и может использоваться для изучения переходного режима его работы.

Зная передаточную функцию W(p) и изображение входного воздействия на средство измерений Q (р), можно по формуле:

найти изображение отклика средства измерений на это входное воздействие, после чего, применив обратное преобразование Лапласа

обозначаемое

перейти к оригиналу Х(t), т. е. найти сам отклик.

Спектральный метод решения уравнения  динамики. При некоторых видах входных воздействий для алгебраизации уравнения динамики удобнее пользоваться не преобразованием Лапласа, а преобразованием Фурье:

 

                                                                                (5)

где Х(w) и Q(w) — комплексные спектры соответственно отклика X(t) и входного воздействия Q(t). Операция (5) называется прямым преобразованием Фурье и обозначается:

;

.

Спектр первой производной

.

После интегрирования по частям имеем:

.

Аналогично можно показать, что

;

…………………………

.

С учетом этих соотношений дифференциальное уравнение динамики (1) преобразуется в алгебраическое

.

Отношение

называется комплексным коэффициентом преобразования (передачи). Как и передаточная функция, комплексный коэффициент преобразования характеризует инерционные свойства средства измерений и может использоваться для изучения переходного режима его работы. Модуль комплексного коэффициента преобразования K(w) называется амплитудно-частотной, а фаза j (w) — фазочастотной характеристиками.

Зная комплексный коэффициент преобразования и комплексный спектр входного воздействия , можно по формуле:

.

найти комплексный спектр отклика средства измерений на это входное воздействие, после чего, применив обратное преобразование Фурье

,

Обозначаемое

,

определить сам отклик.

Обратная задача динамики. До сих пор мы рассматривали входное воздействие Q (t) в виде так называемой ступени. На практике зависимость измеряемой величины от времени может быть гораздо более сложной. Задача измерения состоит в определении этой неизвестной зависимости Q (t) по зарегистрированному отклику на нее Х (t) посредством решения уравнения (1). Такая задача называется обратной задачей динамики.

В общем случае обратная задача динамики не имеет решения. Очень часто, например, в отклике Х(t) не содержится всей необходимой информации о Q (t), потому что высокочастотные составляющие входного воздействия отфильтрованы вследствие инерционных свойств средства измерений, и информация о них безвозвратно потеряна. Однако в некоторых случаях при наличии определенно априорной информации о Q (t) обратная задача динамики может быть решена.

Так, в частности, на основе априорных сведений о Q (t) иногда можно подобрать такую зависимость Q (t), при которой отклик на нее средства измерений с достаточной степенью точности совпадает с откликом на Q (t).Q (t) в этом случае принимается за результат измерения.

Стационарный режим

До сих пор предполагалось, что переходный режим работы средства измерений с течением времени переходит в установившийся. Однако так бывает далеко не всегда. Например, при непрерывно (и, в частности, периодически) изменяющемся входном воздействии инерционность средства измерений может привести к тому, что оно все время будет работать в неустановившемся режиме, характеризующемся искажениями входного воздействия. В порядке иллюстрации рассмотрим работу пикового детектора — измерительного преобразователя, находящего широкое применение в вольтметрах переменного напряжения.

Два варианта схемного исполнения пикового детектора приведены на рис. 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При подаче на вход синусоидального напряжения во время положительных полупериодов происходит заряд конденсатора через сопротивление диода и внутреннее сопротивление источника. Во время отрицательных полупериодов конденсатор разряжается в пиковом детекторе с открытым входом через сопротивление нагрузки R, а в пиковом детекторе с закрытым входом — через нагрузочный резистор R и внутреннее сопротивление источника. Постоянная времени разряда много больше постоянной времени заряда. Поэтому через несколько периодов к обкладкам конденсатора оказывается приложенным слабо пульсирующее напряжение, постоянная составляющая которого Uo (на рис. 80 она показана пунктиром) немного меньше амплитуды входного сигнала Um. Отклик пикового детектора на синусоидальное входное напряжение показан на рис. 80. У пикового детектора с открытым входом откликом является напряжение на конденсаторе, а у пикового детектора с закрытым входом постоянная составляющая напряжения на конденсаторе может рассматриваться как источник постоянного напряжения, включенный последовательно с Uвх. Поэтому у пикового детектора с закрытым входом Uвых = Umsinwt – U0.