Теория Автоматизированного управления

     Более удобным является предлагаемый ниже способ (при сохранении сформулированного  правила записи выражения для  ЛАХ). Он состоит в следующей последовательности действий.

     1. Определяются сопрягающие частоты,  соответствующие отдельным слагаемым, и записываются в порядке возрастания:

; ; ; .

     2. Выбирается масштаб для оси  частот так, чтобы крайние сопрягающие частоты располагались на расстоянии от 0.5 до 1 декады от краев видимой горизонтальной оси. Через сопрягающие частоты проводятся вертикальные пунктирные прямые (рис.16). Пунктирные прямые делят все поле графика на зоны, которым соответствуют отрезки различных асимптот ЛАХ (участки асимптотических ЛАХ). Построение асимптотической ЛАХ далее уже выполняется последовательно по участкам, начиная с первого.

     3. Первый участок расположен левее  всех сопрягающих частот. Следовательно, его уравнение, получаемое по условию w<<1/T_i (i=1,2,3,4), будет иметь вид:

     Это уравнение прямой с наклоном –40 дБ/дек. Для ее построения необходимо найти опорные точки. Например:

     - w=1, L(1)=20lgK=20lg100=40 дБ;

     - w=0.1, L(0.1)=20lg100-40lg0.1=40+40=80 дБ.

     В качестве опорной может также  использоваться точка пересечения  данной прямой с горизонтальной осью, координаты которой могут быть найдены из условия L(w₁)=0:

     Отрезок прямой, выходящий за пределы соответствующего участка,       показывают пунктирной линией (рис.17).

      4. Второй участок  расположен правее сопрягающей  частоты 1/T₂, которой в выражении для ЛАХ соответствует коэффициент +40. По аналогии с рассмотренными выше примерами 7-9 можно придти к выводу, что наклон второго участка по сравнению с первым изменится на величину +40 дБ/дек. В результате второй участок окажется горизонтальным (рис.17).

     5. Третий участок разделен со вторым сопрягающей частотой 1/T₃.  Дополнительный наклон по отношению ко второму участку также соответствует коэффициенту в выражении для ЛАХ, связанному с этой сопрягающей частотой, и равен -60 дБ/дек.

     Аналогично  путем последовательного учета  коэффициентов при соответствующих следующим сопрягающим частотам слагаемых в выражении для ЛАХ могут быть получены и наклоны остальных участков (рис.17).

     Отметим еще раз, что непосредственное использование  коэффициентов выражения для  точной ЛАХ для расчета наклонов участков асимптотической ЛАХ возможно только при условии записи этого выражения так, чтобы частота под знаком логарифма имела первую степень.

       Поскольку расстояние между сопрягающими частотами в  рассматриваемом примере достаточно велико (1 декада) и сомножителя, вызывающего резонанс, в передаточной функции не содержится, погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной будут достигать локальных максимумов на сопрягающих частотах, величины которых будут взаимно-однозначно связаны с величинами изменений наклонов ЛАХ (рис.18).

      Рассмотрим  следующий пример:

где K=200с^-2, T₁=0,08с, T₂=0,5с, T₃=20с, T₄=40с.

           Здесь в отличие  от предыдущего примера, где вертикальные координаты границ участков ЛАХ определялись достаточно очевидно, для их определения  потребуются дополнительные расчеты.

           Запишем выражение  для точной ЛАХ в соответствии со сформулированными выше рекомендациями:

           Сопрягающие частоты  в порядке возрастания:

           Первому участку  асимптотической ЛАХ соответствует  уравнение:

     Первый  участок – прямая с наклоном +20 дБ/дек.

     Опорные точки первого участка:

     - w=1, L(1)=20lgK=20lg200=46 дБ;

     - L(w₁)=0 при w₁, определяемой из уравнения 20lgK+20lgw₁=20lgKw₁=0, откуда Kw₁=1, w₁=1/K=0,005.

     Вертикальную  координату границы первого участка  можно определить непосредственно по его уравнению:

           Наклон второго  участка 20-20=0 дБ/дек (учитывается коэффициент при слагаемом, соответствующем сопрягающей частоте 1/T₄). Участок горизонтален. Вертикальная координата его правой границы также 14 дБ.

           Наклон третьего участка 0-20=-20 дБ/дек (учитывается коэффициент при слагаемом, соответствующем сопрягающей частоте 1/T₃). Длина участка составляет lg2-lg0,05»0,3-(-1,3)=1,6 дек. Вертикальная координата его правой границы 14-20×1,6=14-32=-18 дБ.

           Наклон четвертого участка –20-40=-60 дБ/дек (учитывается коэффициент при слагаемом, соответствующем сопрягающей частоте 1/T₂). Длина участка lg12,5-lg2»1,1-0,3=0,8 дек. Вертикальная координата его правой границы примет значение -18-60×0,8= -18-48=-64 дБ.

           Наклон пятого участка  –60+20=-40 дБ/дек (учитывается коэффициент при слагаемом, соответствующем сопрягающей частоте 1/T₁).

       В рассматриваемом примере расстояние между сопрягающими частотами 1/T₄ и 1/T₃, 1/T₂ и 1/T₁ не достигает декады. Поэтому погрешности асимптотической ЛАХ, связанные с сопрягающими частотами, будут более заметно, чем в предыдущем примере, накладываться друг на друга. В результате на сопрягающих частотах 1/T₄ и 1/T₃ погрешность асимптотической ЛАХ увеличится до 4 дБ, на сопрягающей частоте 1/T₁ погрешность снизится до 2 дБ (рис. 19).