Министерство  образования Российской Федерации

Балтийский  государственный технический университет  “Военмех”

Кафедра систем обработки информации и управления

В. Ю. ЕМЕЛЬЯНОВ

 
 
 
 
 
 

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ 

Конспект  лекций

Санкт-Петербург

2002

 

        Логарифмическая амплитудно-частотная  характеристика (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ) L(w) определяется путем преобразования амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) A(w):

и имеет  единицу измерения – децибел (дБ).

       Для логарифмической фазо-частотной  характеристики (ЛФЧХ, ЛФХ) используется выражение j(w), полученное для обычной фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

       Очевидно, ЛАХ и ЛФЧХ не содержат новой информации по сравнению с АЧХ и ФЧХ. Целесообразность их получения и использования полностью определяется особыми правилами их построения, предоставляющими широкие возможности для построения удобных и наглядных процедур анализа и синтеза систем управления. Аппарат ЛАХ и ЛФЧХ является основой классической теории линейных непрерывных и дискретных систем.

       Необходимо  отчетливо представлять себе необходимость  точного соблюдения правил построения ЛАХ и ЛФЧХ, так как без этого рассматриваемые характеристики теряют смысл, и их применение с нарушением правил построения приводит к неверным результатам.

        При построении рассматриваемых характеристик  для горизонтальной оси (оси частот) используется логарифмический масштаб (рис.1), то есть положение конкретных частот на оси соответствует значениям их десятичных логарифмов. Другими словами, в обычном линейном масштабе по горизонтальной оси откладываются не сами частоты w, а значения lg w. Угловая частота, как и обычно, измеряется в 1/с (рад/с), но в силу применяемого масштаба единицей измерения по оси абсцисс является декада (определение приводится ниже).

       На  рис.1 выше горизонтальной оси указаны  значения частот, ниже оси – их десятичных логарифмов.

       Отметим следующие обстоятельства, характерные  для используемого логарифмического масштаба:

1. Отрицательные частоты не рассматриваются.
2. Отметка частоты w=0 на оси отсутствует. При w®0  lg w® -¥, и соответствующие отметки частоты смещаются по горизонтальной оси влево в бесконечность.
3. Вертикальная ось проводится через отметку частоты, соответствующую нижней границе диапазона существенных частот для изображаемых характеристик.

       4. Изменению значения частоты в  k раз соответствует отрезок оси постоянной длины независимо от его расположения на оси (то есть абсолютных значений частот).

       5. Отрезок горизонтальной оси, соответствующий десятикратному изменению частоты, называется декадой. Длина декады, очевидно, постоянна независимо от ее расположения на оси.

       6. В дальнейшем изложении по  оси абсцисс откладываются и  указываются только значения частоты в логарифмическом масштабе.

       На  вертикальной оси откладываются в линейном масштабе значения L(w) в децибелах. С горизонтальной осью совмещается отметка 0 дБ.

       Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится совместно с ЛАХ, причем горизонтальная ось у обеих характеристик  полностью совпадает, а вертикальная ось для ЛФЧХ совмещается с вертикальной осью ЛАХ следующим образом:

1. Направление положительного отсчета значений ЛФЧХ – вниз.

       2. С отметкой 0 дБ для ЛАХ (пересечение  с горизонтальной осью) совмещается отметка -180° для ЛФЧХ (рис.1).

        Рассмотрим  некоторые примеры построения логарифмических  характеристик, позволяющие обнаружить основные закономерности их формирования.

1. Безынерционное звено:

     Характеристики показаны на рис. 2. 

       

2. Идеальное дифференцирующее звено (K=1):

,

,

        Поскольку вдоль  горизонтальной оси используется линейный масштаб для lgw, график L(w) будет представлять собой прямую линию (рис. 3). Ее наклон  принято измерять в децибелах на декаду (дБ/дек). В рассматриваемом примере при увеличении w в 10 раз, то есть на одну декаду, L(w) получит приращение

 дБ.

       Поэтому наклон ЛАХ здесь составляет +20 дБ/дек.

       При w = 1 lg w = 0, и ЛАХ пересечет горизонтальную ось. 

       3. Идеальное дифференцирующее звено (общий случай):

,

,

,

.

           ЛАХ также будет  представлять собой прямую с наклоном +20 дБ/дек и по сравнению с предыдущим примером будет проходить на 20lgK децибел выше (рис.4).

      Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью может быть найдена из условия:

,

откуда  , .

     При w=1 значение ЛАХ составит L(1)=20lg K. 

           4. Идеальное звено  с передаточной функцией  :

,

,

.

       ЛАХ остается прямой линией, но ее наклон по сравнению с предыдущим случаем увеличится в 2 раза (рис. 5).

       ЛАХ пересекает горизонтальную ось при  , .

       При w=1 L(1)=20 lgK. 

           5. Идеальное интегрирующее  звено:

,

,

,

.

      ЛАХ остается прямой линией (рис.6). Ее приращение при  изменении частоты в 10 раз составит:

дБ.

      Наклон  ЛАХ –20дБ/дек.

      Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью может быть найдена из условия:

.

     При K=1 w₁=1, при w₁=K. 

6. Звено  с передаточной функцией  :

,

,

.

      ЛАХ – прямая линия, но ее наклон по сравнению с  предыдущим примером увеличится в 3 раза и составит –60 дБ/дек (рис.7).

      Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью: , .

      При w=1 L(1)=20lg K.

     Нетрудно  убедиться, что в общем случае для идеальных звеньев с передаточной функцией вида ЛАХ является прямой с наклоном 20m дБ/дек и пересекает горизонтальную ось на частоте . При w=1 значение ЛАХ составляет 20lgK. ЛФЧХ является горизонтальной прямой и проходит на уровне 90^.m°.

     Для последующих примеров построение точных логарифмических характеристик возможно только на основе численного расчета, что не вызывает труда при использовании компьютера и программных средств типа MATLAB. Однако для решения практических задач большое значение имеют приемы их приближенного построения и прежде всего – построение асимптотической ЛАХ. 

     7. Звено с передаточной функцией  W(s)=Ts+1:

,

,

,

.

           Графики точных логарифмических  характеристик показаны на рис.8.

      Асимптотическая ЛАХ может быть построена исходя из следующих соображений.

           Вводится сопрягающая частота w_с, исходя из условия равенства двух слагаемых, расположенных под корнем в выражении для ЛАХ: слагаемого, содержащего низшую степень частоты и слагаемого, содержащего высшую степень частоты.

           Для рассматриваемого примера получим:

, .

           Далее рассматриваются  два диапазона частот.

           Для низких частот, определяемых условием w<<w_с, будет иметь место Tw<<1, и выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

      Соответствующий этому выражению график – прямая, совпадающая с левой частью горизонтальной оси, является асимптотой точной ЛАХ при w®0 (рис.9).

      Для высоких частот, определяемых условием w>>w_с, будет иметь место Tw>>1, и выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

           Учитывая результат, полученный в примере 3, нетрудно убедиться, что график этого выражения будет представлять собой прямую с наклоном +20дБ/дек (рис.9). Эта прямая является асимптотой точной ЛАХ при w®¥. Она пересечет горизонтальную ось на частоте w₁=1/T, то есть асимптоты точной ЛАХ пересекаются на сопрягающей частоте.

       Асимптотической ЛАХ называется ломаная линия, состоящая  из отрезков асимптот точной ЛАХ. Абсолютная величина погрешности асимптотической  ЛАХ  по отношению к точной в  рассматриваемом примере достигает  максимума на сопрягающей частоте  и составляет: