Древнекитайское естествознание и даосизм

Метод фан-чэн близок к методу определителей. Однако он отличается от метода определителей принципиально. Хотя китайский вычислитель оперировал на доске с отвлеченными числами, связь таблицы с уравнениями еще очень сильна. Для создания определителей нужно было отделить от расширенной таблицы свободные члены, сделать столбцы и строки равноправными и т. д.

Необходимым условием применения метода фан-чэн даже к «каноническим» системам с положительными коэффициентами было введение отрицательных чисел. Действительно, преобразование таблицы заданной системы к треугольному виду требует во многих случаях вычитания из меньшего числа большего или из «ничего» какого-то числа.

Отрицательные числа выделялись на счетной доске палочками другого цвета или другой формы, а при письме записывались другими чернилами или отмечались косой чертой; для них имелось особое название — «фу», в то время как положительные называли «чжэн». Здесь непосредственно виден механизм введения нового математического объекта. Еще не зная природы объекта, сначала просто добивались того, чтобы можно было довести до конца начатые вычисления согласно определенному алгоритму. Однако следует подчеркнуть: числа фу выступали не только как разности двух чисел чжэн, но и как отдельные элементы таблиц коэффициентов. Это, вначале чисто формальное, введение чисел фу в качестве самостоятельных объектов исчисления и было решающим шагом в истории учения об относительных числах. Сначала числа фу появлялись и исчезали в ходе вычислений. Это были объекты, имеющие право существования лишь в период вычислений. Для чисел фу были определены правила операций: (+a)∓(±b)=±(a∓b), (+a)∓(∓b)=±(a±b), 0∓(+b)=∓b, 0∓(−b)=±b.

Вычитание формулировалось прежде всего, что еще раз указывает на происхождение отрицательных чисел из этой операции. Кроме первых двух арифметических действий, как показывают сами задачи, употреблялись также умножение и деление, хотя правила для них явно не сформулированы.

Изобретение отрицательных  чисел позволило еще более  расширить класс задач, решаемых при помощи табличного метода. По задачам VIII книги «Математики в девяти книгах» можно проследить, как  постепенно они вводятся в этих случаях. Сначала появляются отрицательные  непервые члены уравнения, затем первый член и свободный член. Все они получаются в результате приведения подобных членов и переноса членов из одной части уравнения в другую

Постепенно китайские ученые пришли к истолкованию чисел «фу» в качестве долга, недостачи и т. п. Такая интерпретация позволила использовать числа фу и в самом задании уравнений.

Китайские математики, так же как вавилонские и греческие, решили теоретико-числовую задачу о существовании целочисленных решений неопределенного уравнения: x 2 + y 2 = z 2 .

Найденный китайцами закон составления троек «пифагоровых» чисел a= p 2 − q 2 2 , b=pq, c= p 2 + q 2 2  позволял выделить множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. В связи с этим предлагался ряд задач, в которых расстояния — катеты проходились с определенными скоростями-коэффициентами, равными p, q.

В IX книге «Математики в девяти книгах» имеется серия задач, сводящихся к системе уравнений вида x 2 ± y 2 =a, y∓x=b,  равносильной квадратному уравнению. В большинстве случаев китайцы сводили эту системы к линейным или по крайней мере к неполному квадратному уравнению A x 2 =B.  Например, система x 2 + y 2 = a 2 , y−x=b  заменялась эквивалентным ей уравнением 2 x 2 +2bx+ b 2 = a 2 .  Дополняя его левую часть до полного квадрата и извлекая корень, мы получили бы значение неизвестного. Но последовательность вычислений, предписанная китайским правилом, иная: формулы, выражающие это правило, получаются, если предположить, что китайцы пользовались подстановкой, которая, быть может, применялась ранее в Вавилоне: x=z− b 2 , y=z+ b 2 ,  где параметр x= a 2 −2 ( b 2 ) 2 2  находится из неполного квадратного уравнения 2 z 2 +2 ( b 2 ) 2 = a 2 .  Впрочем, хотя в китайских текстах мы не находим правила решения квадратного уравнения в радикалах, квадратные уравнения решались, и их метод решения принципиально не отличался от этого правила, которое, как известно, основано на дополнении до полного квадрата. Такой прием не был чужд китайцам.

С календарными и астрономическими расчетами была связана разработка в Китае интерполяционных приемов, позволяющих приближенно находить по небольшому числу эмпирических данных значения функций, заданных таблицами, между точками задания табличных значений. Около 600 г. астроном и математик Лю Чжо применил с этой целью квадратный трехчлен у = ах2 + bх + с, коэффициенты которого выражаются через разности первого и второго порядков при равноотстоящих значениях аргумента. Правила Лю Чжо использовались в календарных расчетах VII и IX вв. Вскоре после Лю Чжо астроном И Синь распространил его правила на случай неравноотстоящих значений аргумента. Правила Лю Чжо и И Синя для интерполяции функции f(x), принимающей в точках x0, x1, x2 заданные значения, состоит в замене функции трехчленом y=f( x 0 )+(x− x 0 ) f( x 1 )−f( x 0 ) x 1 − x 0 +(x− x 0 )(x− x 1 ) f( x 2 )−f( x 1 ) x 2 − x 1 − f( x 1 )−f( x 0 ) x 1 − x 0 x 2 − x 1 .

В XIII в. аналогичное интерполирование с помощью многочлена третьей степени, коэффициенты которого выражаются через разности первого, второго и третьего порядков, было предложено Го Шоу-цзином, придворным астрономом монгольского хана Хубилая, работавшим в Ханба-лыке.

Правила Лю Чжоу и Го Шоу-цзина представляют собой частные случаи интерполяционных формул, предложенных в конце XVII в. в Англии Дж. Грегори и И. Ньютоном.

В VI книге «Математики в девяти книгах» имеется одна задача на арифметическую прогрессию: требуется найти члены прогрессии, состоящей из девяти членов, по сумме четырех первых и трех последних членов. Вопросами суммирования рядов занимались и позднейшие китайские математики, возможно под влиянием индийцев. Шэнь Ко (XI в.) в «Рассуждениях Мэн-си» подсчитал число предметов, образующих n-слойную ступенчатую усеченную пирамиду, в которой стороны прямоугольных слоев последовательно увеличиваются на единицу. Если в наименьшем слое ab предметов, то в к-м слое (a + k - 1) • (b + k - 1) предметов и искомое число выражается суммой ∑ k=1 n (a+k−1)(b+k−1)= n 6 [ a(3b+n−1)+(a+n−1)(3b+2n−2)+n−1 ].

Предпосылками вывода, которого Шэнь Ко не сообщает, должны были служить правила суммирования арифметической прогрессии и ряда натуральных квадратов. В XIII в. Чжу Ши-цзе суммирует ряды, возникающие при перемножении натуральных, треугольных и квадратных чисел с членами возрастающей или убывающей прогрессии.

Обзор математики Китая показывает, что она развивалась до XIV в. преимущественно как совокупность вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения на счетной доске некоторых классов задач арифметики, алгебры и геометрии. Наиболее значительными из этих алгоритмов являются метод фан-чэн решения систем линейных уравнений и метод тянь-юань решения алгебраических уравнений высших степеней. Математики Китая широко пользовались алгебраическими и геометрическими преобразованиями, располагали доказательствами ряда тождеств и геометрических теорем, хотя китайская наука имела мало общего с дедуктивной наукой греческого образца. Важнейшим достижением китайских математиков было введение отрицательных чисел, которым они дали простейшее толкование.

Источники:

• И.И. Баврин, Е.А. Фрибус. Старинные задачи.

• Ху Жань. Науки в Древнем Китае

• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3т. / под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1970. – Т.1 – 353 с.