Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Магнитогорский Государственный Технический Университет имени Г.И.Носова

 

 

 

 

Кафедра математики

 

 

 

 

 

Реферат

 

Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными

матрицами коэффициентов

 

 

 

 

 

Выполнил: студент группы ЭА-04-2

Романенко Н.А.

 

Проверил: Королева В.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Магнитогорск 2004

 

Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем, к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:

 

bixi-1+cixi+dixi=ri      (1)

 

где i=1,2,...,n; b1=0, dn=0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:

 

 

   c1 d1 0 0 ...  0 0 0                   x1                    r1

b2 c2 d2 0 ...  0 0  0                   x2                    r2 

0 b3 c3 d3 ...  0   0 0                   x3                            r3        

.   .   .    .    ...   .   .   .            *       ...          =        ...    

0  0  0  0    ...  bn-1cn-1 dn-1                  xn-1                            rn-1

0  0  0  0    ...  0   bn  cn                         xn                             rn

 

 

Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δi и λi (i=1,2,...,n), при которых

 

xi= δixi+1+ λi       (2)

 

т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение xi-1= δi-1xi+ λi-1 подставим в данное уравнение (1):

 

biδi-1 xi+ bi λi-1+ cixi+ dixi+1= ri      

откуда

xi= -((di /( ci+ biδi-1)) xi-1+(ri - bi λi-1)/( ci - bi δi-1)).

 

Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i=1,2,…,n выполняются рекуррентные соотношения

 

δi = - di /( ci+ biδi-1) ,   λ i=(ri - bi λi-1)/( ci - bi δi-1)  (3)

 

Легко видеть, что, в силу условия b1=0, процесс вычисления δi , λi может быть начат со значений

 

δ1 = - d1/ c1 , λ1 = r1/ c1

 

и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i=2,3,...,n, причем при i=n, в силу dn=0, получим δn=0.Следовательно, полагая в (2) i=n,будем иметь

 

xn = λn = (rn – bn λn-1)/( cn – bn δn-1)

 

(где λn-1 , δn-1 – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся xn-1 , xn-2 ,…, x1 при i=n-1, n-2,...,1 соответственно.

Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δi , λi  по формулам (3) при i=1,2,…,n (прямая прогонка) и затем неизвестных xi по формуле (2) при i=n-1, n-2,...,1 (обратная прогонка).

Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой, если |δi|<1 при всех i€{1,2,...,n }.

Приведем простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.

 

Теорема

 

Пусть коэффициенты bi и di  уравнения (1) при i=2,3,...,n-1 отличны от нуля и пусть

|ci|>|bi|+|di|  i=1,2,…,n.    (4)

 

Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. сi+biδi-1≠0, |δi|<1).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.

При i=1, в силу (4), имеем: 

 

|c1|>|d1|≥0

 

- неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, а так же

 

|δ1|=|- d1/ c1|<1   

 

Предположим, что знаменатель (i-1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δi-1|<1. Тогда, используя свойства модулей, условия теоремы и индукционные предположения, получаем:

 

|сi+biδi-1|≥|ci| - |biδi-1|>|bi|+|di| - |bi|*|δi-1|= |di|+|bi|(1 - | δi-1|)> |di|>0

а с учетом этого

|δi|=|- di/ сi+biδi-1|=|δi|/| сi+biδi-1|<|δi|/|δi|=1   

 

Следовательно, сi+biδi-1 ≠0 и |δi|<1 при всех i€{1,2,...,n }, т.е. имеет место утверждаемая в данных условиях корректность и устойчивость прогонки. Теорема доказана.

Пусть А – матрица коэффициентов данной системы (1), удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть

 

 

δ1= - d1/ c1  ,  δi=|- di/ ci+biδi-1    (i=2,3,...,n-1),   δn=0

- прогоночные коэффициенты, определяемые  первой из формул (3), а 

∆i= сi+biδi-1  (i=2,3,...,n)

- знаменатели этих коэффициентов (отличные от нуля согласно  утверждению теоремы). Непосредственной  проверкой легко убедится, что  имеет место представление A=LU, где

 

   c1  0 0  0  ...  0   0  0              

b2 ∆2 0  0  ...  0   0   0                  

   L= 0  b3 ∆3 0  ...  0  0   0                  

…………………………      

0 0 0 0    ...  bn-1 ∆n-1 0              

0   0 0   0    ...  0   bn  ∆n                    

 

 

 

 

            1  -δ1 0   0  ...  0    0    0              

0   1  δ2  0  ... 0    0    0                  

   U= 0  0   1   δ3  ...  0    0    0                  

…………………………      

0   0   0   0  ... 0   1  -δn-1      

0   0 0   0  ...  0   0     1                  

 

 

 

 

 

Единственное в силу утверждение теоремы LU-разложения матриц. Как видим, LU-разложение трехдиагональной матрицы А может быть выполнено очень простым алгоритмом, вычисляющем  ∆i δi при возрастающих значениях i. При необходимости попутно может быть вычислен

                              n

det A = c1 ∏ ∆i .

                 i=2

 

В заключение этого пункта заметим, что, во-первых, имеются более слабые условия корректности и устойчивости прогонки, чем требуется в теореме условие строгого диагонального преобладания в матрице А. Во-вторых, применяется ряд других, отличных от рассмотрения нами правой прогонки, методов подобного типа, решающих как поставленную здесь задачу (1) для систем с трехдиагональными матрицами (левая прогонка, встречная прогонка, немонотонная, циклическая, ортогональная прогонки и т.д.), так и для более сложных систем с матрицами ленточной структуры или блочно-матричной структуры (например, матричная прогонка).

 

Список используемой литературы

 

 

В.М. Вержбитский «Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения», Москава «Высшая школа 2000».