Стоимость 2-ого плана:

D₂=1•20+2•30+0,4•20+1•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=312.

Имеем:u₁+v₆-c₁₆ =0,3>0, u₂+v₃-c₂₃ =0,7>0,  u₃+v₃-c₃₃ =0,3>0, u₃+v₅-c₃₅ =0,3>0. => По критерию оптимальности, второй план не оптимален. Далее max(0,3;0,7;0,3;0,3)=0,7 => Поместим перевозку в клетку А₂В₃, сместив 15=min(20,30,55,15) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u₁+v₁=1,u₁+v₂=2,u₂+v₁=0,4,u₃+v₂=1, u₃+v₄=0,8, u₂+v₃=1, u₄+v₄=1,5, u₄+v₅=2,5 , u₄+v₆=0. Положим u₁=0,тогда v₁=1,u₂=-0,6,v₂=2,v₄=1,8, u₃=-1, u₄=-0,3,v₃=1,6, v₅=2,8, v₆=0,3.    

Составим  таблицу: 

 

Стоимость 3-его плана: 

 D₃=1•35+2•15+0,4•5+1•15+0,8•40+1•35+1,5•35+2,5•40=301,5.

Имеем:u₁+v₆-c₁₆ =0,3>0,u₃+v₅-c₃₅ =0,3>0. => По критерию оптимальности, третий план не оптимален. Далее max(0,3;0,3)=0,3. => Поместим перевозку в клетку А₃В₅, сместив 40=min(40,40) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Чтобы 4-ый план был невырожденным, оставим в клетке А₄В₅ нулевую перевозку. Найдем потенциалы: u₁+v₁=1,u₁+v₂=2,u₂+v₁=0,4,u₃+v₂=1, u₄+v₅=2,5, u₂+v₃=1, u₄+v₄=1,5, u₃+v₅=1,5 , u₄+v₆=0. Положим u₁=0,тогда v₁=1,u₂=-0,6,v₂=2,v₄=1,5, u₃=-1,u₄=0, v₃=1,6, v₅=2,5, v₆=0. Составим таблицу: 

 

    Стоимость 4-ого плана: D₄=1•35+2•15+0,4•5+1•15+1•35+1,5•40+1,5•75=289,5.

Для всех клеток последней таблицы выполнены  условия оптимальности:

1)u_i+v_j-с_ij=0 для клеток, занятых перевозками;

2)u_i+v_j-с_ij ≤0  для свободных клеток.

Несодержательные  ответы: 

Прямой  ЗЛП:

              35 15  0  0  0  0

              5  0  15  0  0  0

      X =     0  35  0  0 40  0  

              0  0   0 75  0  5

         min=289,5.

    Двойственной  ЗЛП:

U₁=0 ; U₂=-0,6 ; U₃=-1 ; U₄=0 ; V₁=1 ; V₂=2 ; V₃=1,6 ; V₄=1,5 ; V₅=2,5 ; V₆=0.

         max=289,5. 

    Так как min=max, то по критерию оптимальности найдены оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП. Содержательный ответ: Оптимально перевозить так:

Из А₁ в B₁ – 35 рулонов полотна;

Из А₁ в B₂ – 15 рулонов полотна;

Из А₂ в B₁ – 5  рулонов полотна;

Из А₂ в B₃ – 15 рулонов полотна;

Из А₃ в B₂ – 35 рулонов полотна;

Из А₃ в B₅ – 40 рулонов полотна;

Из А₄ в B₄ – 75 рулонов полотна.

        При этом стоимость минимальна  и составит D_min=289,5.  5 рулонов полотна необходимо оставить на складе А₄ для их последующей перевозки в другие магазины. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение:

    В работе изложены основные подходы и  методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.

    Алгоритм  и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических задач, не имеющих ничего общего с транспортировкой груза. В этом случае величины тарифов c_ij имеют различный смысл в зависимости от конкретной экономической задачи. К таким задачам относятся следующие:

• оптимальное закрепление за станками операций по обработке деталей. В них c_ij является таким экономическим показателем, как производительность. Задача позволяет определить, сколько времени и на какой операции нужно использовать каждый из станков, чтобы обработать максимальное количество деталей. Так как транспортная задача требует нахождения минимума, то значения c_ij берутся с отрицательным знаком;
• оптимальные назначения, или проблема выбора. Имеется m механизмов, которые могут выполнять m различных работ с производительностью c_ij. Задача позволяет определить, какой механизм и на какую работу надо назначить, чтобы добиться максимальной производительности;
• задача о сокращении производства с учетом суммарных расходов на изготовление и транспортировку продукции;
• увеличение производительности автомобильного транспорта за счет минимизации порожнего пробега. Уменьшение порожнего пробега сократит количество автомобилей для перевозок, увеличив их производительность;
• решение задач с помощью метода запрещения перевозок. Используется в том случае, если груз от некоторого поставщика по каким-то причинам не может быть отправлен одному из потребителей. Данное ограничение можно учесть, присвоив соответствующей клетке достаточно большое значение стоимости, тем самым в эту клетку не будут производиться перевозки.

    Таким образом, важность решения данной задачи для экономики несомненна. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Список литературы:

 

1. Апатенок  Р.Ф. Математика для экономистов. М, Просвещение, 2009.-345с.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2007.- 525с.
3. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. – М.; Наука, 2008.-209с.
4. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 2009.-345с.
5. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 2004.-337с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - СПБ: Издательство «Лань», 2008.-610с.
7. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2006.- 523с.
8. Красс М. Математика для экономических специальностей. Учебник. 3-е изд., перераб и доп. М, Экономист, 2007.-236с.
9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом анализе: Учебник. – 3-е изд., исп. – М.: Дело, 2009.-487с.
10. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. - Минск, Высшая школа, 2009.-432с.
11. Пехелецкий И.Д. Математика: учебник для студентов. - М.: Академия, 2006.-256с.
12. Павлова Т.Н, Ракова О.А. Линейное программирование. Учебное пособие. - Димитровград, 2009.-445с.
13. Павлова Т.Н, Ракова О.А. Решение задач линейного программирования. Учебное пособие. - Димитровград, 2005.-389с.
14. В.И. Ермаков “Общий курс высшей математики для экономистов”, Москва, Инфра-М, 2010.-568с.
15. http://www.snipetz.com/math/sysanalysys/line/08.htm