Введение 

     Тема  реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».

      Прочность пластических масс и изделий  из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.

     Случайные погрешности учитываются с помощью  закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.

 

      1. Статистические характеристики

 
     

1. Среднее арифметическое значение случайной величины:

 

      x = (x₁+x₂+x₃+۰۰۰+x_n) = (Σ x_i) / n, 

     где  n – количество наблюдений в выборке.

2. Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:

 

     S_n = √ Σ(x_i – x)² / (n-1) 

     Берется только положительное значение.

3. Дисперсия:

 

      D_n = S_n² = Σ(x_i – x)² / (n-1) 

     Если  n > 50, то (n-1) можно заменить на n.

4. Доверительный интервал:

 

     ‌ x – x ‌ ≤ S_n / √n ∙t_α(n), 

     где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);

     t_α(n) – коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α.

5. Коэффициент вариации:

 

      ν_х = S_n /х · 100% или ν_х = S_n /х 

 

     2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену 

     Основными условиями обеспечения прочности  любого материала являются: 

     По  напряжениям  n = σ_раз/σ_{max экв} ≥ [n]

     По  нагрузкам  n = R/Q ≥ [n], 

     где  n – запас прочности;

     σ_раз – разрушающее напряжение;

     σ_maxэкв – максимальное эквивалентное действующее напряжение;

     R – разрушающая нагрузка;

     Q – действующая нагрузка;

     [n] – допускаемый запас прочности.

     В основе оценки лежат:

     1) статистическая природа прочности пластмассы;

     2) возможность вероятностного распределения  действующих нагрузок и напряжений.

     Это позволяет построить графики  плотностей вероятности распределения  Р(х) по действующему напряжению σ и  пределу прочности σ_в. При этом запас статистической прочности будет равен: 

     n = σ_в / σ_max.

     Считаем, что σ_в и σ_max известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σ_А и σ_в < σ_А, возможно разрушение.

     Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:

 

      Р_раз = Р (σ > σ_А)·Р(σ_в < σ_А) = S, 

     где  S – площадь заштрихованного участка.

     Вероятность того, что случайная величина σ_А будет меньше заданного значения σ, равна:

 

     Р (σ > σ_А) = ½ + Ф[(σ_А – σ) / S_д], 

     где  Ф – табулированная функция Лапласа;

     S_д – среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.

     Табулированная  функция Лапласа равна: 

     ₂

      Ф[(σ_А – σ)·/S_д] = 1/√2π · ∫е^{-1/2 ξ} ·dξ 

     где  ξ = (σ_А-σ_ср) / S_д; dξ = dσ_А / S_д

     Вероятность того, что случайная величина σ_А будет больше заданного значения σ_в, равна:

 

     Р(σ_в < σ_А) = ½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср}) / S_в], 

     где  S_в – среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.

     В предположении того, что закон  распределения случайных величин  нормальный, можно записать: 

     Р_раз = {½ + Ф[(σ_А – σ)/S_д]}· {½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср})/S_в]}

 

      Плотность распределения при нормальном законе распределения равна: 

      _{2 2}

     Р(х) = 1/(S·√2π)· e ^{– (x-xср) /2S}

     Для точки А величина σ может быть найдена из равенства:

 

     _{2 2 2 2}

     1/S_д·e^{-(σА-σср) / 2Sд} = 1/S_в·e^{-(σА-σвср) / 2Sв}

     или Z_д² – Z_в² = -2 ln(S_д/S_в), 

     где  Z_д = (σ_А-σ_ср) / S_д; Z_в = (σ_А-σ_вср) / S_в. 

     Величины  Z_д и Z_в называются нормированными отклонениями.

     Последнее уравнение решается относительно σ_А. Затем определяется Р_раз, представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.

     Через Р_раз можно найти коэффициент надежности Н: 

     Н = lg (1/P_раз)

     Р_раз = 1 – Р_нер; Р_нер = 1 – Р_раз 

     При вероятности неразрушения Р_нер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4. 

 

     3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам 

     Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.

     Изделие считается прочным, если действующая  нагрузка Q меньше разрушающей R:

     R – Q > 0

 

     Вероятность такого события определяет надежность изделия: 

     α = Вер [(R – Q) > 0] 

     Обозначим разность нагрузок через Х: 

     Х= R – Q 

     Тогда, с учетом того, что Х подчиняется  нормальному закону распределения  с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно: 

     Х₀ = R₀ – Q₀ 

     Стандартное отклонение: 

     S_x = √ S_R² + S_Q² 

     Надежность:

 

      2 2

     α = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e^{-1/2·((x-xср) / S}x ⁾ ·dx 

     С учетом нормированной функции Лапласа: 

     α = Ф(У), 

     где  У = X₀ / S_x (У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).

     После подстановки уравнений и деления  числителя и знаменателя на Q₀ получим: 

     У = (R₀/Q₀ – 1) / √S_R² / Q₀² + S_Q² / Q₀² 

     Введем  обозначения:

     n₀ = R₀ / Q₀ – средний наиболее вероятный запас прочности; 

     ν_R = S_R / R₀; ν_Q = S_Q / Q₀ – коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.

     Тогда:

 

     У = (n₀ –1)/√ n₀²·ν_R² + ν_Q² 

     Для трубы при r >> h, где r – радиус, а h – толщина стенки, принимают: 

     ν_{R =} √ ν_в² + ν_h² 

     Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно  определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.

     Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.

     Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 ⁰С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.

     Если  труба изготовлена из АГ-4С, и σ_в = 9,75 МПа; σ_д = 5,1 МПа; ν_R = 0,095; ν_д = 0,3, то:

     n₀ = 9,75 / 5,1 = 1,91

      У = (1,91 – 1) / √ 1,91²·0,095² + 0,3² = 2,5

     По  таблице для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.

     При нагреве до 60 ⁰С:

     n₀ = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147

      У = (1,147 – 1) / √ 1,147²·0,095² + 0,3² = 0,445

     По  таблице для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.

     Количественная  оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.

     Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала  или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к  понижению коэффициента вариации ν_в.

      Из уравнения  для У можно определить запас прочности: 

     n₀ = (1 + У·√ν_R² + ν_Q² – У²·ν_R²·ν_Q²) / (1 – У²·ν_R²)