Задачи по "Теоретической менханике"

      Вариант №10                           Задание №1 

      Определить  реакции опор горизонтальной балки  от заданной нагрузки

        
 
 
 
 
 
 
 
 

      Дано: 

      

      Решение:

      Рассмотрим  равновесие балки АВ (рис. 1).

      К балке приложена уравновешенная система сил, состоящая из активных сил и сил реакции.

      Активные (заданные) силы:

       , , ,  пара сил с моментом М, где

       - сосредоточенная сила, заменяющая  действие распределенной вдоль отрезка АС нагрузки интенсивностью .

      Величина 

       .

      Линия действия силы проходит через середину отрезка СD.

      Силы  реакции (неизвестные силы):

       , , - реакции жесткой заделки.

      Для полученной плоской произвольной системы  сил можно составить три уравнения  равновесия:

      

,  , .

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача  является статически определимой, так как число неизвестных сил ( , , ) - три - равно числу уравнений равновесия.

      Поместим  систему координат XY в точку А, ось AX  направим вдоль балки. За центр моментов всех сил выберем точку В.

                                                                                   (1)

                                                                        (2)

                      (3)

      Решая систему уравнений, найдем , :

      Из  (1):

      

      Из  (2): 

      

      Из  (3): 

      

      Модуль  реакции опоры А

      

      Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов всех сил относительно точки В:

      

      

      

      Ответ: .

 

       Вариант №10                          Задание №2

      

      Определение реакции опор и давления

      в промежуточном шарнире составной 

      конструкции.

      Дано:

      

      Решение:

      Решение:                                                                                        Рис. 1

      Рассмотрим  равновесие всей конструкции (рис. 1).  К ней приложены:

      активные  силы  пара сил с моментом М,             

      где

      силы  реакции:

       , ,  - заменяют действие шарнирно-неподвижной опоры А;

       , - реакции шарнира С;

       - заменяет действие шарнирно-неподвижной  опоры В

       Расчетная схема 
 
 
 

                      Рис. 2 
 
 
 
 

      Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня АС и раму в целом. Проведем координатные оси и изобразим действующие на стержень силы: сосредоточенный момент М и реакции шарнира С и , реакции опоры А ( и ), равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка длиной а (численно ), силы и ,  реакции шарнира С ( и ), направленные противоположно реакциям и , составляющие , реакции опоры В. Для полученной плоской системы сил составляем шесть уравнений равновесия:

                                                                                     (1)                                                                                                                                                                 (2)

                       (3)

                                                                                     (4)

                                                          (5)

                                                             (6)

            Из уравнения (2) находим  :

      

      Из  уравнения (3) находим Y_А:

   

      

 

Из уравнения (1) находим Х_С: 

Из уравнения (4) находим Y_С: 

Из уравнения (5) находим X_В: 

Из уравнения (6) находим Y_В:

Проверка:

      Ответ: Х_А = - 0,686 кН,   Y_A = 1,086 кН,   Х_С = - 0,686 кН,  

      Y_С = 1,086 кН, Х_B = 0,986 кН,  Y_B = 1,986 кН. Знаки указывают на то, что силы  направлены так, как  показано на рисунке, кроме силы и .

        
 
Вариант №10                           Задание №3

      Кинематика  точки. 

      Дано:    

      Решение:

      Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных   уравнений движения время .

          

      Определим местоположения точки при t = 1/2 с.

                                    

      Скорость  точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

      

       ;

      

      и при       

                                                                             (2) 

      Аналогично  найдем ускорение точки:

                 

      

      

      и при  

        

           

                                                                             (3)

      Касательное ускорение найдем, дифференцируя  по времени равенство

       .

      Получим 

                                                                                         (4)

      Числовые  значения всех величин, входящих в правую часть выражения (4), определены и  даются равенствами  (2) и (3). Получаем

       .

      Нормальное  ускорение точки

       .

      Радиус  кривизны траектории

       .

 

       Вариант №10                         Задание №4

       Дано:

        

      Решение: 
 
 
 
 
 

1). Определение  скоростей точек и угловой  скорости АВ.

      Вектор  скорости направлен вдоль направляющих ползуна В. Модуль   найдем, применив теорему о проекциях скоростей на прямую АВ.

      Для определения скорости строим мгновенный центр скоростей (МЦС Р) который находится на пересечении перпендикуляров восстановленных к векторам в точках А и В. Направление определяем направлением вектора . Вектор скорости направлен перпендикулярно РС в сторону , и численно ,

где

     

     

       .

       

      Угловая скорость звена АВ:

 

      2) Определение ускорений точек  звена и углового ускорения звена.

      Согласно  теореме об ускорениях точек плоской  фигуры

       , где  - вектор направлен от В к А. Вектор ускорения направлен вдоль направляющих ползуна В. Вектор перпендикулярен прямой АВ.

      Спроектируем  векторное уравнение  на ось х:

       , откуда 

      

      Спроектируем  векторное уравнение  на ось  у:

       , откуда

      

      Угловое ускорение 

      Определяем  ускорение точки С:

      

.

      Здесь

      

;

      

      Модуль  ускорения точки С находим  способом проекций:

      

.

      Вычисляем

      

;

      

.

      Итак,