Течение Куэтта и тороидальные вихри Тейлора

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

Кафедра энергетики и транспорта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

по дисциплине: гидрогазодинамика

 на тему: «Течение Куэтта и тороидальные вихри Тейлора»

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студентка группы ЭП-381(1)                                

Проверил: доцент кафедры  ЭиТ                                    

Хокканен В.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мурманск

2010 г.

 

Содержание

 

1. Введение……………………………………………………………………..3

2. Течение Куэтта…………………..…………………………………………..4

3.Распределение скоростей  для течения между соосными  цилиндрам…….7

4. Вихри Тейлора……………………………………………………………….9

5. Заключение…………………………………………………………………..12

6. Список литературы………………………………………………………….13

 

 

1. Введение

 

Наиболее  полно  изученными  сдвиговыми  течениями  являются  классические  проблемы  Куэтта–Пуазейля  и Куэтта-Тейлора.  Несмотря на формальную простоту классических течений (одномерность профиля и зависимость от Re только амплитуды основного течения) и тот факт, что более чем за полуторавековую  историю  исследования  сдвиговых  течений  они  удостаивались  внимания  ученых  с очень громкими именами, история их изучения далеко не проста. Исследование задачи Куэтта-Тейлора об устойчивости изотермических течений было начато еще в 19 веке в экспериментах А. Мэллока и М. Куэтта. С ней связан и первый успех теории гидродинамической устойчивости – отыскание Дж. Тейлором значений параметров, при которых основной режим теряет устойчивость и возникает вторичное стационарное течение.

Целью данного реферата является изучение цилиндрического течения Куэтта, получение частного решения уравнения Навье-Стокса для данного случая и  рассмотрение тороидальных вихрей Тейлора.

 

2. Течение Куэтта.

Рассмотрим движение жидкости между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами. Чтобы воспроизвести указанное течение, поступают следующим образом. Берут два цилиндра с прозрачными стенками, имеющих общую ось вращения, но могущих вращаться независимо друг от друга. В зазор между стенками цилиндров заливают масло и, чтобы структуру течения сделать видимой, к маслу добавляют мелкую алюминиевую пудру.

Если начать вращать внешний  цилиндр, то ничего неожиданного не произойдет. (Рис. 1, а). Можно медленно вращать и внутренний цилиндр, все равно ничего потрясающего не будет. А вот если мы начнем очень быстро вращать внутренний цилиндр – случится нечто удивительное. Жидкость разобьется на горизонтальные полосы (Рис. 1, б). Если с подобной же скоростью мы будем вращать внешний цилиндр, а внутренний оставим в покое, то никакого похожего эффекта не возникает. Как же получается, что не все равно, какой цилиндр вращать – внутренний или внешний. Ответ можно получить, взглянув на сечение цилиндра, изображенного на рис.2. Когда внутренние слои жидкости движутся быстрее, чем внешние, они стремятся двигаться наружу: центробежная сила становится больше удерживающего давления. Но весь слой целиком не может двигаться равномерно, так как на его пути стоят внешние слои. Поэтому они разбиваются на клетки и циркулируют, как показано на рис.2, б. Это напоминает конвекционные потоки в комнате, где на уровне пола имеется слой теплого воздуха. Когда внутренний цилиндр находится в покое, а внешний вращается с большой скоростью, центробежные силы создают градиент давления, который удерживает всё в равновесии (Рис. 2, в), как теплый воздух, находящийся у потолка.

 

 

 

 

Теперь ускорим внутренний цилиндр. Сначала число полос увеличится. Затем неожиданно полосы станут волнистыми (Рис.1, в), и волны эти начнут обтекать цилиндр. Скорость этих волн можно измерить. При больших скоростях вращения они приближаются к 1/3 от скорости внутреннего цилиндра.

Если теперь мы еще начнем вращать и внешний цилиндр, но в противоположную сторону, то картина потока начнет развиваться. Волновые области начнут чередоваться со спокойными на вид областями, образуя спиральную картину (Рис.1, г). Однако и в этих «спокойных» областях, как можно заметить, поток на самом деле совсем не регулярен; он полностью турбулентен. Кроме того, в волновых областях начинает еще появляться нерегулярный турбулентный поток. Если цилиндры вращаются еще быстрее, то весь поток становится хаотически турбулентным.

Движение потока между двумя коаксиальными цилиндрами, внутренний из которых вращается, а внешний неподвижен называется течением Куэтта.

Таким образом, с помощью наших  вращающихся цилиндров мы можем  наблюдать многие эффекты, проявляющиеся  в потоке, проходящем мимо цилиндра: во-первых, это стационарный поток, во-вторых, целый набор потоков, которые изменяются со временем, но регулярным гладким образом, и, наконец, поток становится полностью нерегулярным. Те же самые эффекты каждый из нас видел в столбике табачного дыма, струящегося от сигареты, когда воздух спокоен. Сначала этот столбик гладкий, затем он как-то скручивается, поток дыма начинает разрушаться, и, наконец, все заканчивается беспорядочными клубами (Рис.3).

 

 

 

 

 

3. Распределение скоростей для течения между соосными цилиндрами.

Рассмотрим вязкую жидкость, заполняющую  пространство между двумя цилиндрами с радиусами R₁ и R₂ (причем R₂> R₁)*¹, вращающимися с угловыми скоростями ω₁ и ω₂ (если знаки ω₁ и ω₂ различны, то цилиндры вращаются в противоположных направлениях).

 Движение жидкости описывается  уравнениями Навье-Стокса в цилиндрической  системе координат (r, θ, z):

где (u_z, u_r, u_θ) – вектор скорости, операторы

 

К уравнениям 1 – 3 необходимо добавить уравнение неразрывности, которое в цилиндрической системе координат имеет вид:

В стационарном состоянии ( ) жидкость вращается так, что

 

 Система уравнений стационарного движения получается из 1 – 5 и сводится к двум уравнениям

 

 

Решение уравнения 7 можно искать в  виде ; при подстановке в 7 получается , т.е. ; следовательно, общее решение уравнения 7 имеет вид

 

Угловая скорость вращения жидкости

Постоянные А  и В находятся из условия прилипания жидкости к стенкам цилиндров  ω(R₁)=ω₁ , ω(R₂)=ω₂ .

Искомое стационарное распределение  скоростей дается формулами 9 – 10. Эти формулы упрощаются в одном частном случае, когда зазор между цилиндрами мал по сравнению с радиусами цилиндров, т.е. при . Положим в этом случае R₁=R, R₂=R+d. Разлагая 9,10 по малому параметру , получим в этом случае линейное распределение скоростей

Здесь .

Если принять, что в пределе  R₁→ R₂, то течение переходит в течение между движущимися параллельными плоскостями, о нем говорят как о плоском течении Куэтта.

 

4. Вихри Тейлора

Рассмотрим теперь неустойчивость течения между вращающимися цилиндрами, открытую в 1923 г. одним из наиболее выдающихся гидродинамиков Тейлором. Если жидкость находится между двумя коаксиальными цилиндрами, из которых наружный вращается, а внутренний неподвижен, то, согласно Куэтту, переход ламинарного течения в турбулентный происходит при такой критической окружной скорости u внешнего цилиндра,  для которой число Рейнольдса , при условии, то расстояние d=r₂ – r₁ между стенками цилиндров мало по сравнению с r₁ и r₂ . В случае более широкой щели начинает проявлять своё действие стабилизация,  и величина критической скорости сильно возрастает.  Наоборот, если внутренний цилиндр вращается, а внешний неподвижен, то течение делается неустойчивым еще в стадии ламинарного движения; регулярно возникают вихри с осями, параллельными окружной скорости, вращающиеся попеременно вправо и влево. Тейлор теоретически определил условие этой неустойчивости; оно имеет следующий вид:

 где r есть среднее значение обоих радиусов r₁ и r₂.

При малых скоростях вращения, когда  реализуется ламинарное течение – течение Куэтта. Когда возникает и продолжает существовать ламинарное течение с вихрями Тейлора (Рис.6 а,б). В тороидальном вихре Тейлора частицы движутся по бесконечной спирали. Лишь при течение становится полностью турбулентным, т. е. наступает хаос (Рис.6 г). Таким образом, вихри довольно устойчивы и существуют при десятикратном изменении скорости вращения. Но при средних значениях (140 – 380) торы становятся волнистыми, и эта волна обтекает внутренний цилиндр (Рис.6 в).

На рис.  изображены полученные Вендтом  профили скоростей турбулентного течения между стенками одного вращающегося и одного неподвижного цилиндра. Если вращается внешний цилиндр, то перенос количества движения получается слабым; наоборот, этот перенос получается сильным, если вращается внутренний цилиндр.

В турбулентных пограничных слоях вдоль изогнутых стенок такого рода стабилизация и потеря устойчивости наблюдаются даже при сравнительно малой изогнутости стенок. На выпуклых стенках возникает ослабление, а на вогнутых, наоборот, усиление турбулентного перемешивания. В последнем случае еще при ламинарном течении могут возникать вихри, аналогичные описанным выше вихрям, возникающим между цилиндрами. Согласно вычислениям Гертлера, условие устойчивости имеет вид:

,

где δ есть толщина пограничного слоя.

 

 

5. Заключение

Изучение свойств сдвиговых  течений вязкой жидкости остается актуальным для развития общей теории гидродинамической устойчивости на протяжении длительного времени. Такой интерес к сдвиговым течениям связан и с проблемами общей теории гидродинамической устойчивости, и с прикладными геофизическими задачами и определяется, в частности, большой распространенностью этого типа движений в природе и в технологических процессах.

 

6. Список литературы

 

1.  Аржаник А.Р., Михайличенко Ю.П., Сотириади Г. Н. Постановка демонстраций ячеек Бернара и вихрей Тейлора.//"Физическое образование в вузах" . - Изд. Московского физ. общ.  - 2000 - Т. 6, № 4, , с. 60-67.

2.  Астафьева Н.М. Структуры, формирующиеся во вращающемся сферическом слое под влиянием условий, имитирующих глобальные потоки тепла в атмосфере // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. 2006, т.1, с.245-256.

3.  Гидродинамическая устойчивость  вращательного течения Куэтта. Сафаров  Р.А., Сон Э.Е., Сафаров Н.А. –  М.: МФТИ., - 2002

4.    Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.  Теоретическая физика: Учебное пособие.  В 10т. Т.6 Гидродинамика. – 3 изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред.  физ-мат. лит., – 1986. – 736с. 

5.     Прандтль Л. Гидроаэромеханика. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика». – 2002. – 572с.

6.     Фейнмановские лекции по физике. В 10т. Т. 7. Физика сплошных сред. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. –М: Либроком. – 2004. – 290с.

7.  Альбом течений жидкостей и газа. М. Ван-Дайк. Пер. с англ. Л.В. Соколовской//Под ред. Г. И. Баренблатта и В. П. Шидловского. – М.:“Мир”. - 1986

¹ Если принять, что в пределе R₁→ R₂, то течение переходит в течение между движущимися параллельными плоскостями, о нем говорят как о плоском течении Куэтта.