Санкт-Петербургский  Государственный  Технологический  Институт

(Технический  Университет) 

Кафедра математического моделирования  и оптимизации химико-технологических  процессов 

Факультет            

Курс                     

Дисциплина: Системный  анализ химической технологии 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

Вариант № 4

Тема: Выбор оптимального места строительства очистного сооружения 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                            Студент:                  
 
 
 

                                                                            Преподаватель: 
 
 

Оценка за курсовую работу: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2011

 

Введение

     В последнее время особое внимание в промышленности стало обращаться на инженерный анализ и оптимизацию  производственных процессов. Однако из-за высокой интеграции химико-технологических процессов их анализ и оптимизация весьма сложны и неизменно требуют применения вычислительной техники. Отсутствие соответствующего программного обеспечения, наряду с ограничением стоимости работ и времени, необходимых для выполнения работ, может привести к анализу и оптимизации только части существующей технологии или рассмотрению меньшего количества вариантов технических решений. Кроме того, для более полной проработки режимов работы технологии и управления в масштабах завода в некоторых случаях возникает необходимость моделирования химико-технологических систем в динамических условиях.

     Ранее, процесс моделирования технологических  процессов и систем требовал применения языков программирования и поэтому использовался исключительно специалистами, свободно разбирающимися в химической технологии, моделировании и программировании. Бурное развитие мощных персональных компьютеров позволило создать специализированные программные оболочки, автоматизирующие сложные вычисления и наглядно отображающие результаты расчета.

     При проектировании ХТС решаются следующие  задачи:

       Среди математических задач, связанных  с разработкой и совершенствованием  ХТС выделяют следующие: задача  синтеза, анализа и оптимизации.

     Задача  синтеза ХТС: Заданы элементы, из которых  может быть построена система, а  так же заданы сырье и целевые  продукты. Требуется разработать  структуру ХТС для реализации технологического процесса, т.е. необходимо выбрать элементы из числа имеющихся, установить связи между ними, определить конструктивные и технологические параметры элементов ХТС.

     Задача  анализа ХТС:

     Целью анализа структуры ХТС является выявление ее структурных особенностей и нахождение последовательности расчета  элементов.

     Целью анализа качества функционирования является получение количественных оценок ее основных свойств: чувствительности, надежности и т.д.

     Задача  оптимизации ХТС является комплексной  и включает в себя как оптимизацию  структуры, так и оптимизацию  режимов функционирования элементов. Целью оптимизации является обеспечение наиболее высоких технико-экономических показателей ХТС.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задание

     Выбор оптимального места строительства  очистного сооружения. Сточные воды трех химических комбинатов, расположенных и точках В₁ В2, В3, должны подаваться для обработки на очистное сооружение.

     Выбрать оптимальное место строительства  этою сооружения, если целевая функция, представляющая затраты на строительство, имеет вид

     R=A₁W₁L₁+A₂W₂L₂+A₃W₃L₃

     где L_i – длина соответствующего участка трубопровода, км,

     определяется  по формуле

     

     A_i – коэффициент, учитывающий сложность строительства участка трубопровода, руб.*ч/км*м³;

     W_i –объемный расход, м³/ч;

     X_i, У_i – координаты химического комбината, км;

     X, У – координаты очистного сооружения, км;

     Условие окончания счета 

     Решение задачи провести с помощью градиентных  методов. Выполнить сравнительный  анализ эффективности методов.

     Вариант задания ниже.

 

     1 Теория : Постановка задачи решения системы уравнений в терминах методов оптимизации

     Задача  решения системы уравнений:

                                                                          (1)

     с n эквивалентна задаче минимизации функции

                                                     (2)

или какой-либо другой возрастающей функции от абсолютных величин | f_i | невязок (ошибок) , . Задача отыскания минимума (или максимума) функции n переменных и сама по себе имеет большое практическое значение.

     Для решения этой задачи итерационными методами начинают с произвольных значений и строят последовательные приближения:

     

     или покоординатно:

      (3)

     которые сходятся к некоторому решению  при .

     Различные методы отличаются выбором «направления»  для очередного шага, то есть выбором  отношений

      .

     Величина  шага (расстояние, на которое надо передвинуться в заданном направлении в поисках экстремума) определяется значением параметра λ^[j], минимизирующим величину как функцию от λ^[j]. Эту функцию обычно аппроксимируют её тейлоровским разложением или интерполяционным многочленом по трем-пяти выбранным значениям λ^[j]. Последний метод применим для отыскания max и min таблично заданной функции F(x₁,x₂,...,x_n).

     1.1 Градиентные методы

     Основная  идея методов заключается в том, чтобы идти в направлении наискорейшего  спуска, а это направление задаётся антиградиентом :

     

     где λ^[j] выбирается

• постоянной, в этом случае метод может расходиться;
• дробным шагом, то есть длина шага в процессе спуска делится на некое число;
• наискорейшим спуском:

     1.2 Метод наискорейшего спуска (метод градиента)

     Выбирают  , где все производные вычисляются при , и уменьшают длину шага λ^[j] по мере приближения к минимуму функции F.

     Для аналитических функций F и малых значений f_i тейлоровское разложение F(λ^[j]) позволяет выбрать оптимальную величину шага

      (5)

     где все производные вычисляются  при  . Параболическая интерполяция функции F(λ^[j]) может оказаться более удобной.

     Алгоритм

1. Задаются  начальное приближение и точность расчёта 
2. Рассчитывают , где
3. Проверяют условие останова:
• Если , то j = j + 1 и переход к шагу 2.
• Иначе и останов.

     1.3 Метод покоординатного спуска (Гаусса—Зейделя)

     Улучшает  предыдущий метод за счёт того, что  на очередной итерации спуск осуществляется постепенно вдоль каждой из координат, однако теперь необходимо вычислять  новые  раз за один шаг.

     Алгоритм

1. Задаются  начальное приближение и точность расчёта 
2. Рассчитывают , где
3. Проверяют условие останова:
• Если , то и переход к шагу 2.
• Иначе и останов.

     1.4 Метод сопряжённых градиентов

     Метод сопряженных градиентов — метод нахождения локального минимума функции на основе информации о её значениях и её градиенте. В случае квадратичной функции в минимум находится за n шагов.

     Определим терминологию:

     Пусть .

     Введём  на целевую функцию .

     Вектора называются сопряжёнными, если:

     где — матрица Гессе .

     1.4.1 Обоснование метода

     Нулевая итерация

     

 

     Рисунок 2 - Иллюстрация последовательных приближений метода наискорейшего спуска (зелёная ломаная) и метода сопряжённых градиентов (красная ломаная) к точке экстремума.

     Пусть

     Тогда .

     Определим направление  так, чтобы оно было сопряжено с :

     

     Разложим  в окрестности и подставим :

     

     Транспонируем полученное выражение и домножаем  на справа:

     

     В силу непрерывности вторых частных производных . Тогда:

     

     Подставим полученное выражение в (3):