Статика. Кинематика точки

Министерство  образования и науки Российской Федерации 

Кафедра «Теоретическая механика и сопротивление  материалов» 
 
 
 
 
 
 
 

Расчетная работа по теоретической механике №1

По теме: «Статика. Кинематика точки»

Вариант 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: 

Проверил: 
 
 
 
 
 
 

2011 
 
 

С-1 Вариант 15. 

 
 
 
 
 

Дано: Р=10 кН

      М=5 кН*м

      q=2кН/м

 

Найти: Хa, Ya, Yb_. 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Решение.

1. Разложим силы.

Px=P*cos45

Py=P*cos45

Q1=q*2

Q2=q*4 

2. Покажем реакции в опорах.

Х_A, У_A, У_B. 

3. Составим уравнения  равновесия. 

      1) ∑x=0;      Xa+Q1+Px=0.

      2) ∑y=0;      Ya-Py-Q2+Yb=0.

      3) ∑Ma(Fk)=0;  -Q1*1-Q2*2+Yb*4-Px*2-M=0.

4. Расчет

      Из 1) Xa= -Q1-P*cos45= -4-10*0,707= -11,07

      Из 3) Yb= (Q1+Q2*2+2*P*cos45+M)/4 = (4+8*2+2*10+0,707+5)/4=9,78

      Из 2) Ya= P*cos45+Q2-Yb= 10*0,707+8-9,78=5,29 

5.Проверка

∑Md(Fk)=0;  -Ya*4+Xa*2+Q1*1+P*cos45*4+Q2*2-M=0.

            -5,29*4+(-11,07*2)+4+7,07*4+16-5=-21,15-22,13+4+28,28+16-5=0.

            0=0. 

Ответ: Xa=-11,07.  Ya=5,29.  Yb=9,78. 

 C-3. Вариант 15. 
 
 

Дано:  Р1=5 кН

      P2=8 кН

      М=22 кН*м

      q=3,6 кН/м

 

Найти: Mb. 
 
 
 
 
 
 

      Решение.

1. Укажем систему  отсчета из точки А, (х,у).

2. Разобьем схему на 2 части.

                                          

3. Разложим силы и покажем реакции в опорах.

P2x=P2*cos45

P2y=P2*cos45

Q=q*2

Rax=Ra*cos30

Ray=Ra*cos60

Mb – реактивный момент.

Xc=X¹c;  Yc=Y¹c 
 
 

4. Составим уравнения равновесия по частям.

     

     I

      1) ∑x=0;       Rax+Xc=0.

      2) ∑y=0;       Ray-Q+Yc=0.

      3) ∑Ma(Fk)=0;  M-2*Q+3*Yc=0.

    

    II

      4) ∑x=0;       -X¹c-P2x+Xb=0.

      5) ∑y=0;       -Y¹c-P1+Yb-P2y=0.

      6) ∑Mc(Fk)=0;  -P1*2-P2y*4-P2x*3+Yb*4+Mb=0. 
 

5. Расчет 

      Из 3) Yc= (2*Q-M)/3= (14,4-22)/3= -2,53

      Из 2) Ra=(Q-Yc)/cos60=(7,2-(-2,53))/0,5=19,46

      Из 1) Xc= -Ra*cos30=-16,85

      Из 4) Xb=X¹c+P2x=-16,85+5,656=-11,19

      Из 5) Yb=Y¹c+P1+P2y=-2,53+5+5,656=8,126

      Из 6) Mb=P1*2+P2y*4+P2x*3-Yb*4=10+22,62+16,968-32,504=17,084. 
 
 

5.Проверка по I части. 

∑Mc(Fk)=0;  -Ray*3+q+m=0.

            --29.2+7,2+22=0.

            0=0. 
 

Ответ: Mb=17,084. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

С-7. Вариант 15.

Дано:  Q=3 кН

      G=2 кН

      R=0,20 м

   а=0,6 м

      b=0,2 м

      c=0,4 м

      r=0,05 м 

Найти: Za, Xa,

Zb,Xb,P. 
 
 
 
 
 

Решение.

1. Разложим силы.

Qx=Q*cos60

Qz=Q*cos30

Px=P*cos30

Pz=P*cos60 

2. Покажем реакции в опорах.

Za, Xa, Zb, Xb. 

3. Составим уравнения  равновесия. 

      1) ∑x_к=0;      Xa+Xb-Qx+Px=0.

      2) ∑z_к=0;      Za+Zb+Qz-G-Pz=0.

      3) ∑Mx(Fk)=0;  Qz*(a+b)+Zb*(a+3b)-G*(a+3b+c)-Pz*(a+3b+c)=0.

      4) ∑My(Fk)=0;  -Qz*r+P*R=0.

      5) ∑Mz(Fk)=0;  Qx*(a+b)-Xb*(a+3b)-Px*(a+3b+c)=0. 

4. Расчет.

      Из 4) P=(Qz*r)/R=(3*0,866*0,05)/0,2=0,65

      Из 3) Zb=(-Qz*(a+b)+G*(a+3b+c)+Pz*(a+3b+c))/(a+3b)=1,6415/1,2=1,386

      Из 5) Xb=(Qx*(a+b)-Px*(a+3b+c))/(a+3b)=(1,2-0,9)/1,2=0,25

      Из 1) Xa= -Xb+Qx-Px=-0,25+3*0,5+0,65*0,866=1,8129

      Из 2) Za= -Zb-Qz+G+Pz=-1,378-2,598+2+0,65*0,5=-1,641 

5.Проверка

∑Mx¹(Fk)=0;  -Za*0,8+Zb*0,4-G*0,8-Pz*0,8=0.

            -1,3128+0,5472-1,6-0,26=0.

            0=0. 

Ответ: P=0,65 кН, Zb=1,368 кН, Xb=0,25 кН, Xa=1,8129 кН, Za= -1,641 кН.

      К-1. Вариант 15. 

      Дано: x=4cos(πt/3)

            y=-3sin(πt/3)

            t₁= 1 c. 

      Задание: по заданным уравнениям движения точки  М установить вид ее траектории и  для момента времени t₁ найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.  

      Решение.

1. Траектория  движения точки y=f(x).

sin(πt/3)=-y/3 +  cos(πt/3)=x/4

получаем

1=x²/16+y²/9     траектория движения точки – эллипс.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Найдем точку  М в момент времени t₁= 1 c.

М: x₁=4cos(π/3)=2

    y₁=-3sin(π/3)=-2,6 

3. Найдем скорость  точки в момент времени t₁: 

Vx= х = (4cos(πt/3)) = 4π/3*(-sin(πt/3))

Vy= у = (-3sin(πt/3)) = -π*cos(πt/3) 

Vx₁=(-4*3,14)/3*0.866=-3,622

Vy₁= -3,14*0,50=-1,57 

Определим модуль скорости:

V=   V²x +V²y=  13,12+2,46= 3,94 см/с 

4. Найдем ускорение  точки в момент времени t₁: 

ax= x = (-4π/3*sin(πt/3)) =-4π²/9*cos(πt/3)

ay= y = (-π*cos(πt/3)) =π²/3*sin(πt/3) 

ax₁=-2,191

ay₁=2,846

Определим полное ускорение:

a=  ax²+ay² = 12,9 = 3,6 см/с²

Найдем касательное  ускорение точки:

a_T= | (Vx*ax+Vy*ay)/V |= | (7,93-4,468)/3,94|=0,88 см/с²

Найдем нормальное ускорение точки:

a_n= | Vx*ay-Vy*ax| / V= |-10,3 -3,43|/3,94=3,48 см/с²

5. Найдем радиус кривизны траектории

p=V²/a_n=15,52/3,48=4,46 см 

Результат вычислений для заданного момента  времени t₁.