Расчет монохроматора

1. РАСЧЕТ МОНОХРОМАТОРА 

     1.1. Габаритный расчет

     1.1.1. Исходные данные

     Вариант № 1.

     Рассчитаем  монохроматор для следующих условий:

спектральная  область, = (300 - 800) нм,

обратная линейная дисперсия, = 8 нм/мм,

фокусные расстояния сферических зеркал = 300 мм 

     1.1.2. Выбор оптической схемы.

      

     Для обеспечения работы в широком  диапазоне длин волн при относительно небольших габаритах прибора выгодно использовать оптическую схему монохроматора, построенную по схеме Эберта-Фасти. В качестве диспергирующего элемента применяем дифракционную решётку. 

 

     Рис. 1.1. 

  и - входная и выходная щели,

  и - объективы,

 и    - поворотные зеркала,

- диспергирующий элемент,

  - фильтр. 
 
 

     1.1.3. Общие соотношения для дифракционной решетки 

       Распределение интенсивности света  дифрагированного решеткой

определяется  выражением [I]

  

        (1.1) 

Где  - интенсивность падающего света,

      - число штрихов решетки,

      - множитель,  определяющий  дифракцию от каждого элемента решётки. 

При этом  

            (1.2) 

      - ширина рабочей грани штриха,

      - рабочая длина волны,

      - угол падения,

      - угол дифракции,

       - множитель, определяющий положение главных дифракционных максимумов. 

             (1.3) 

 - постоянная решетки.

     Интенсивность = 0, если второй или третий член в формуле (1.1) равен нулю. Для второго члена (1.2) минимум будет иметь место при условии

      ,  где  = 1, 2…

т.е. когда  ,

Так как " " очень мало, минимумы, определяемые этим множителем,

редкие. За счёт третьего множителя (1.3) образуются частые минимумы

вследствие большого количества штрихов N.

     Условие минимумов определяется соотношением 

       

При этом - принимает значение целых чисел, кроме значений кратных N , т.е. кроме значений = 0, N , 2 N ... mN.

В этих случаях  , третий множитель принимает значение, равное и вместо минимумов появляются главные максимумы, интенсивность которых определяется соотношением: 

                                    (1.4) 

     Формула решетки для условия главных  дифракционных максимумов определяется выражением: 

                                   (1.5) 

где     m  = 1,  2, 3....

Каждому значению m соответствует спектр   m-го порядка.

                                                                         

1.1.4. Основные характеристики решетки 

     Из  формулы (1.5) после дифференцирования по непосредственно следует выражение для угловой дисперсии 

         (1.6) 

     Из (1.6) видно, что для данной длины волны угловая дисперсия в основном определяется углом дифракции (при условии, что угол падения остается постоянным).

     Свободный спектральный интервал между налагающимися  длинами волн соседних порядков определяется при выбранных  и соотношением 

            (1.7) 

     Разрешающая способность решетки при заданных углах падения и дифракции, может быть повышена только за счет увеличения размеров решетки. Это следует из соотношения [I] 

       (1.8)     

где - полное сечение дифрагированного пучка. 

1.1.5. Выбор параметров основных элементов монохроматора 

     Так как заданная дисперсия прибора  относительно невысока выбираем стандартную решетку-реплику с 600 штр/мм, работающую в первом левом порядке [I]. Размеры решетки 50х60 (заштрихованной части), толщина 15 мм, диаметр заготовки 90 мм. Решетку устанавливаем в параллельном пучке, в этом случае она практически не вносит искажения изображения.

  В качестве объективов выбираем два сферических зеркала с фокусными расстояниями в соответствии с заданием  = 300 мм, диаметром = 60 мм. Фокусное расстояние в значительной мере определяет значение светосилы и линейной дисперсии.

     Выбираем  угол между падающим и отраженным от зеркального объектива центральными лучами, идущими от центра входной щели к центру решетки = 15°.

           Угол между центральными падающим и дифрагированным от решетки лучами принимаем =35°.

Апертура монохроматора  определяется 

       

Где - диаметр сферического зеркала 

       

Угол падения  и угол дифракции (рис. 1.2.) связаны соотношением (1.5)  

                

                        (1.9)

     

Рис.  1.2. 

     В монохроматоре при изменении  длины волны углы  и изменяются одновременно, но их разность   остается постоянной.

       После преобразования   формула  (1.9)   приводится к виду  

                (1.10) 

     Для определения правильного положения  дифракционной решетки произведем расчет для середины рабочего диапазона,  а затем для крайних длин волн,  что позволит определить угол поворота решетки.

     Примем: нм; = 300 нм; =800 нм.

     Учитывая, что мм; ; = 15°; - определим углы и для длины волны  нм 

       

       

Имеем систему  уравнений

     

     

Из ее решения  получим

      ;

Меридиональное  увеличение будет  

     

и    

     Угол  между нормалью к поверхности  дифракционной решетки и оптической осью определяет угол поворота решетки для различных длин волн. Угол поворота решетки от начального положения определится, из соотношения       

     

Для = 300 hm 

      

        

Для = 800 hm 

      

       

     Для последовательного выведения всего  спектра на щель необходимо повернуть решетку на угол

     

Считаем, что  входная щель помещена в меридиональном астигматическом фокусе зеркального объектива , а выходная в фокальной плоскости коллиматорного объектива .

Тогда, расстояние входной щели от зеркального объектива  определится из соотношения                                                                 

      = 300• 0,9914 = 297,42 мм  

А расстояние от выходной щели до объектива  будет 

      = 300 • 0,984 = 295,2 мм  

1.1.6. Расчет характеристик монохроматора 

 Линейная  дисперсия  

       

Обратная линейная дисперсия   

       
 
 

Ширина спектра 

                                      

       (800 - 300) нм = 102 мм 

Разрешающая способность  определяется параметрами дифракционной решетки, расстоянием ее до сферических зеркал и шириной входной щели. Параметры решетки известны. Ширина входной щели определяется соотношением    

     

где - требуемое разрешение.

     Рассчитаем  ширину щели, задаваясь  в пределах от 1 до 8 нм (таблица 1.1.)   

                                  

Таблица 1.1.

 

     Для ориентировочного определения ширины щели и разрешающей способности проведем приближенный расчет аберрационного пятна, ширина которого "b", зависит от ширины решетки (60 мм) и фокусного расстояния сферического зеркала