Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Декабря 2012 в 14:40, контрольная работа
Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов. На рис. 2.1 изображена схема простого -фильтра нижних частот.
-цепи в схемотехнике имеют большое значение. Они применяются весьма часто, поэтому опишем подробно их функции.
Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов. На рис. 2.1 изображена схема простого -фильтра нижних частот.
Рис. 2.1. Фильтр нижних частот
Описание в частотной области
Для расчета частотной характеристики схемы применим формулу отношения напряжений, представленных в комплексной форме.
Комплексный коэффициент передачи для фильтра нижних частот (рис. 2.1) запишется в виде:
Поскольку , то
С учетом , и имеем
Обе зависимости представлены на рис.2.2.
Положив , находим .
Таким образом, частота среза равна , а фазовый сдвиг на этой частоте составляет .
Рис. 2.2. Диаграмма Боде для фильтра нижних частот
Как видно на рис. 2.2, аплитудно-частотную характеристику наиболее просто составить из двух асимптот:
1) дБ на нижних частотах .
2) На высоких частотах согласно формуле. , т.е. коэффициент усиления обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т.е. он уменьшается на 20 дБ на декаду или на 6 дБ на октаву.
3) дБ при .
Описание во временной области
Для анализа схемы во временной области подадим на вход этой системы импульс напряжения (рис.2.3). Чтобы рассчитать выходное напряжение, применим правило узлов к ненагруженному выходу. Тогда для схемы, изображенной на рис. 2.1, запишем
С учетом получим дифференциальное уравнение
Оно имеет следующее решение:
; . (*)
Как видно из рис. 2.3, к установившимся значениям и кривые будут приближаться асимптотически. Поэтому в качестве меры времени установления выходного напряжения принята постоянная времени . Она показывает время, в течение которого процесс достигает значения, отличающегося от установившегося на часть величины скачка напряжения на входе. Из формулы (*) видно, что постоянная времени равна .
Рис. 2.3. Реакция фильтра нижних частот на скачок напряжения
Фильтр верхних частот – это схема, которая передает без изменений сигнала высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Схема простого -фильтра верхних частот приведена на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Простой фильтр верхних частот.
Амплитудно-частотные
и фазо-частотные характеристик
Отсюда находим
Обе кривые представлены на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Диаграмма Боде для фильтра верхних частот
Выражение для частоты среза совпадает с соответствующим выражением для фильтра низких частот:
Фазовый сдвиг на этой частоте составляет . Как для фильтра нижних частот, наиболее просто составить амплитудно-частотную характеристику в двойном логарифмическом масштабе с помощью асимптот:
1) дБ на высоких частотах .
2) На низких частотах согласно формуле , т.е. коэффициент усиления пропорционален частоте. Наклон асимптот равняется +20 дБ на декаду или на 6 дБ на октаву.
3) При , как и для фильтра нижних частот, дБ.
При расчете реакции на импульс напряжения применим для нагруженного выхода второй закон Кирхгофа:
При получим дифференциальное уравнение
Его решение имеет вид
Таким образом, постоянная времени, как и для фильтра нижних частот, равна .
Путем последовательного соединения фильтров верхних и нижних частот получают полосовой фильтр. Его входное напряжение равно нулю на высоких и нижних частотах. Одна из возможных схем представлена на рис. 2.10.
Рис. 2.10. Пассивный полосовой RC-фильтр.
Рассчитаем выходное напряжение и фазовый сдвиг на средних частотах. Формула для ненагруженного делителя напряжения в комплексной форме имеет вид
Подставив , получим
Отсюда найдем модуль и фазовый сдвиг
Выходное напряжение максимально при . Следователь, резонансная частота
Введенная ранее величина представляет собой нормируемую частоту
Фазовый сдвиг на резонансной частоте равен нулю, коэффициент усиления . На рис.2.11 приведены графики зависимости и от частоты
Рис. 2.11. Диаграмма Боле пассивного полосового RC-фильтра
Если полосовой фильтр на рис. 2.10. дополнить сопротивлениями и , показанными на рис. 2.12., то получится мост Вина-Робинсона. Омический делитель напряжения обеспечивает частотно-независимое напряжение, равное . При этом на резонансной частоте выходное напряжение равно нулю. В отличие от полосового фильтра амплитудно-частотная характеристика коэффициента усиления на резонансной частоте имеет минимум.
Рис. 2.12. Мост Вина-Робинсона
Схема применима для подавления сигналов в определенной частотной области. Для определения выходного используем выражение:
Отсюда следует, что
Модуль и фазовый сдвиг определяются как
Графики зависимости и от частоты представлены на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Диаграмма Боде моста Вина-Робинсона
Двойной Т-образный фильтр (рис. 2.14) обладает частотной характеристикой, идентичной характеристике моста Вина-Робинсона.
Рис. 2.14. Двойной Т-образный фильтр
Он тоже пригоден для подавления определенной частотной области. В отличие от моста Вина-Робинсона выходное напряжение снимается относительно общей точки. Для высоких и низких частот . Сигналы высоких частот будут полностью передаваться через два конденсатора , а сигналы низких частот – через резисторы .
Для расчета частотной характеристики используем правило узлов для точек 1, 2 и 3 (рис. 2.14); при ненагруженном выходе получим
Узел 1: ,
Узел 2: ,
Узел 3: .
После исключения и и нормирования будем иметь
Модуль и фазовый сдвиг равны
Графики зависимости и от частоты изображены на рис. 2.15.
Рис. 2.15. Диаграмма Боде двойного Т- образного фильтра