Аналитическое определение усилий в стержнях заданной панели

1 Определение рациональной  высоты фермы, числа и величины  панелей

Исходные данные:

Длина пролета l = 21 м.

Отношение высоты фермы к  длине пролета h/l = 1/4

Назначаем высоту фермы h = 5,25 м.

Назначаем длину панели a = 3,5 м.

Число панелей n = 6.

Расчетная схема фермы  изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Расчетная схема  фермы.

2 Аналитическое определение усилий в стержнях заданной панели

Исходные  данные:

p = 17 кН.

Определим реакции в опорах:

Проверка:

Определим геометрические параметры  панели:

Определим усилия в стержнях фермы:

Усилие  определим методом моментной точки [2]. Для этого проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие правой части фермы относительно точки А.

Высоту h₁ определим по формуле:

Тогда получаем:

Усилие  определим методом моментной точки [2]. Для этого проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие правой части фермы относительно точки k.

Значения h₂ и b определим по формуле:

Тогда получаем:

Знак “-” означает, что стержень сжат.

Усилие  определим методом моментной точки [2]. Для этого проведем сечение II-II и рассмотрим равновесие правой части фермы относительно точки k.

Знак “-” означает, что стержень сжат.

4. Построение линий влияния  реакций опор и стержней заданной  панели

Задаемся единичной силой F=1, расположенной на расстоянии x от правого края фермы.

Строим линии влияния  реакций в опорах [2].

Начнем с  построения линии влияния усилия . Стержень В—7 является элементом первой категории, а потому при построении линии влияния можно шпренгельные фермочки выкинуть и, таким образом, свести задачу к построению линии влияния усилия в основной ферме. Вырезая из нее узел В и рассматривая его равновесие:

находим, что  линия влияния  имеет вид треугольника, изображенного на рис. 2.

Для построения линии влияния  воспользуемся методом моментной точки [2]. Проводим сечение I-I. Рассмотрим случай, когда единичная сила F=1 находится справа от сечения I-I. Составим сумму моментов сил для левой части фермы, относительно моментной точки А:

Правая ветвь линии  влияния  равна линии влияния R_a, умноженной на коэффициент 5а/h₁.

Если сила F=1 располагается  слева от сечения I-I, то, рассматривая правую часть фермы, получим:

Левая ветвь линии влияния равна линии влияния R_b, умноженной на коэффициент а/h₁.

Строим левую ветвь  линии влияния  .

Для построения линии влияния  воспользуемся методом моментной точки [2]. Проводим сечение I-I. Рассмотрим случай, когда единичная сила F=1 находится справа от сечения I-I. Составим сумму моментов сил для левой части фермы, относительно моментной точки k:

Правая ветвь линии  влияния  равна линии влияния R_a, умноженной на коэффициент (6а+b)/h₂.

Если сила F=1 располагается  слева от сечения I-I, то, рассматривая правую часть фермы, получим:

Левая ветвь линии влияния равна линии влияния R_b, умноженной на коэффициент -b/h₂.

Линии влияния усилий в  заданном узле фермы изображены на рисунке 2.

Рисунок 2 - Линии влияния  усилий в заданном узле фермы.

 

5. Определение расчетных  усилий в стержнях заданной  панели от действия постоянной  нагрузки и системы связанных между собой подвижных сил.

Исходные данные:

p = 17 кН.

Для определения максимального  усилия в стержне от системы подвижных  сил 10p-5p последние устанавливаются так, чтобы сумма произведений сил на ординаты линии влияния, расположенные под ними, была наибольшей.

Стержень U:

Определяем ординаты линии влияния. Для определения ординаты точки пересечения правой и левой ветвей приравняем описывающие их ур-я:

 

Подставляя полученное значение в любое из ур-ий, получим:

Для определения ординаты Y₂ поступим аналогично:

Усилие в стержне:

где коэффициент перегрузки для подвижной нагрузки [1];

Стержень  :

Определяем ординаты линии  влияния:

Y₁=-0,5; Y₂=-1.

Усилие в стержне:

Стержень D:

Определяем ординаты линии влияния. Для определения ординаты точки пересечения правой и левой ветвей приравняем описывающие их ур-я:

 

Подставляя полученное значение в любое из ур-ий, получим:

Для определения ординаты Y₂ поступим аналогично:

Усилие в стержне:

где коэффициент перегрузки для подвижной нагрузки [1];

Усилия от постоянной  нагрузки:

Стержень  :

где коэффициент перегрузки.

Усилия в остальных  стержнях определяем аналогично.

Расчетные усилия определяем суммированием  усилий от подвижной и постоянной нагрузок для каждого стержня  панели. Полученные результаты заносим  в таблицу 1.

Таблица 1- Расчетное усилие в стержнях

N стержня	Усилие от постоянной нагрузки (со своим знаком) Sn·nп	Усилие от временной нагрузки, Sвр и nв		Расчетное усилие, Nр
		Растягивающее Sврмакс.	Сжимающее -Sврмакс	Максималь-ное Sn·nп + Sврмаксnв	Сжимающее Sn·nп + Sврминnв.
V	-93,5	-	221,3	-	314,8
U	48,125	248,7	-	296,8	-
D	-58,4	-	374,96	-	433,4

 

6 Подбор сечений стержней  фермы

Стержень U:

Стержень растянут.

 

 

Суммарная площадь сечения:

где расчетное сопротивление.

Площадь сечения стержня:

По ГОСТ 8509-72 выбираем уголок №7,5, у которого А=7,39 см², r_min=2,31 см. Растянутые стержни рассчитываются на жесткость:

где коэффициент, учитывающий способ закрепления концов

      

        λ_m - предельная гибкость элементов фермы;

Условие выполняется.

Стержень V:

Стержень сжат.

Суммарная площадь сечения:

 

где: коэффициент продольного изгиба

      коэффициент условий работы

      расчетное сопротивление

 

Площадь сечения стержня:

Выбираем уголок №12 у которого А=18,8 см², r_min=3,72 см,

Определяем гибкость стержня:

где:

Линейной интерполяцией  находим:

φ₁’=0,92 – 0,03·2,3 = 0,851 ≠ φ1=0,4

 Второе приближение:

Площадь сечения стержня:

Выбираем уголок №10 у которого А=12,82 см², r_min=3,09 см,

Определяем гибкость стержня:

Линейной интерполяцией  находим:

φ₂’=0,89 – 0,03·9,47 = 0,61 ≈ φ₂=0,6255

Стержень D:

Стержень сжат.

Суммарная площадь сечения:

Площадь сечения стержня:

Выбираем уголок №14 у которого А=24,72 см², r_min=4,34см,

Определяем гибкость стержня:

где:

Линейной интерполяцией  находим:

φ₁’=0,92 – 0,03·7,01 = 0,7 ≠ φ₁=0,5

 Второе приближение:

Площадь сечения стержня:

Выбираем уголок №12 у которого А=18,8 см², r_min=3,72 см,

Определяем гибкость стержня:

Линейной интерполяцией  находим:

φ₂’=0,89 – 0,03·4,85 = 0,7445 ≠ φ₂=0,65

Третье приближение:

Площадь сечения стержня:

Выбираем уголок №11 у которого А=15,15 см², r_min=3,4 см,

Определяем гибкость стержня:

Линейной интерполяцией  находим:

φ₂’=0,86 – 0,05·0,01 = 0,8595 ≠ φ₂=0,6973

Четвертое приближение:

Площадь сечения стержня:

Выбираем уголок №11 у которого А=15,15 см², r_min=3,4 см. Т.к. он выпадает второй раз, на нем и остановимся.

7 Расчет числа заклепок

Стержень U:

Усилие, воспринимаемое одной заклепкой:

где диаметр заклепок,

        число площадок среза, .

        расчетное сопротивление на срез,

Количество заклепок определим  по формуле:

Принимаем

Число заклепок исходя из условия  прочности на смятие:

где наименьшая суммарная толщина сминаемых элементов в одном направлении.

          расчетное сопротивление на смятие,

          - суммарная толщина уголков

          - толщина фасонки

Принимаем , расположение заклепок однорядное [1].

Стержень V:

Число заклепок исходя из условия  прочности на срез:

Принимаем

Число заклепок исходя из условия  прочности на смятие:

Принимаем , расположение заклепок  однорядное.

Стержень D:

Число заклепок исходя из условия  прочности на срез:

Принимаем

Число заклепок исходя из условия  прочности на смятие:

Принимаем , расположение заклепок  однорядное.

Клепаный узел изображен  на рисунке 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 – Узел клепаный.

 

8. Расчет длины сварных  швов

Стержень U:

Сварные соединения стержней с фасонками выполняют фланговыми швами, работающими на срез. В этом случае суммарная длина шва [1]: