Задачи по "Строительству"

 

Задача. Для балки, нагруженной внешними нагрузками: Р=76кН, М=14кН×м, q=14кН/м, а=1м b=2м, с=3м, выполнить проверочный расчет на прочность, если [s]=160МПА. В составном поперечном сечении балки (рисунок 2) принять номер двутавра № и толщину листа d= 160МПА мм.

Схема № 12

 

 

 

Решение

1. Составляем силовую схему балки, заменяя опоры опорными реакциями

 

Учитывая характер нагрузок действующих на балку, будем считать реакции RА и RВ направленными вверх. Если направление реакции выбрано

 

 неправильно, то при их определении будет  получено отрицательное значение.

 

 

 

2. Определяем опорные реакции, составляя уравнение моментов относительно опор А и В.

В случае действия распределенной нагрузки при определении опорных реакций следует заменить эту нагрузку ее равнодействующей. В данном случае она равна q×b и приложена в середине участка «b». Поэтому, создаваемый ею момент относительно опоры А с учетом знака равен -q×b×(а+0,5×b) и относительно опоры В равен q×b×(c+0,5×b).

∑MB = - RA(L - L1 - L2) + ∑qi(bi - ai)(2L - 2L2 - ai - bi)/2 + ∑Fi(L - L2 - ci) - ∑Mi = - RA(L - L1 - L2) + q1(b1 - a1)(2L - 2L2 - a1 - b1)/2 + F1(L - L2 - c1) - M1 = - RA·(6 - 1 - 3) + 14·(1 - 0)·(2·6 - 2·3 - 0 - 1)/2 + 76·(6 - 3 - 6) + 14 = 
= - RA·2 + 14·1·2.5 - 76·3 + 14 = 
= - RA·2 - 179 = 0 ⇒

 
⇒ RA = -179/2 = -89.5 кН;

 

∑MA = RB(L - L1 - L2) - ∑qi(bi - ai)(ai + bi - 2L1)/2 - ∑Fi(ci - L1) - ∑Mi = 
= RB(L - L1 - L2) - q1(b1 - a1)(a1 + b1 - 2L1)/2 - F1(c1 - L1) - M1 = RB·(6 - 1 - 3) - 14·(1 - 0)·(0 + 1 - 2·1)/2 - 76·(6 - 1) + 14 = 
= RB·2 + 14·1·0.5 - 76·5 + 14 = 
= RB·2 - 359 = 0 ⇒ 
⇒ RB = 359/2 = 179.5 кН;

3. Проверка  правильности определения реакций RА и RВ.

∑Y = RA + RB - ∑qi(bi - ai) - ∑Fi = RA + RB - q1(b1 - a1) - F1 =

=-89.5 + 179.5 - 14·(1 - 0) - 76 =-89.5 + 179.5 - 14 - 76 = 0;

Реакции RА и RВ определены правильно.

4. Определение  поперечной силы Q в сечении для  каждого участка балки и построение  эпюры поперечных сил.

Следует помнить, что можно начало координат задать слева или справа от сечения. Целесообразно выбирать начало координат так, чтобы уравнения для Q и Ми были наиболее простыми, т.е. чтобы в них входило меньшее число нагрузок. На первом и втором участках можно задать координаты произвольных сечений Z1 и Z2 c началом координат слева от сечения в точке А. На третьем участке проще задать координату произвольного сечения Z3 с началом координат справа от сечения, т.е. в точке В. Такой подход вызван тем, что в этом случае получаются наиболее простые уравнения для Q и Ми. В общем случае уравнения получаются другими, но эпюры при этом не меняются.

Знаки поперечной силы Q определяются по правилу знаков для поперечной силы при поперечном изгибе: внешняя сила, совпадающая по направлению с осью Y, входит в выражение поперечной силы со знаком «плюс», если построение идет в положительном направлении оси Z, и со знаком «минус», если оно идет в противоположном направлении.

На первом участке в сечении 1-1

QI(z) = - q1(z - a1) = - 14(z - 0) = -14z;

при z2=0 м  Q2==0 кН;

при z 2=1 м  Q2=-14*0=-14 кН

 

на втором участке в сечении 2-2

 

QII(z) = RA - q1(z - a1) + q1(z - b1) = -89.5 - 14(z - 0) + 14(z - 1) = -103.5;

1£z2£3   Q2=-103,5 кН;

 

на третьем участке в сечении 3-3

 

QIII(z) = RA + RB - q1(z - a1) + q1(z - b1) = -89.5 + 179.5 - 14(z - 0) + 14(z - 1) = 
= 76;

В выбранном масштабе строим эпюру Q, согласно правилам построения эпюр

 

5. Вычисление  значения изгибающего момента  Ми по участкам балки и построение его эпюр.

Для изгибающего момента принято следующее правило знаков: изгибающий момент в сечении положителен, если положительна создаваемая им кривизна балки, и наоборот. При направлении оси Y вверх изгибающий момент от внешнего фактора положителен, если он изгибает балку выпуклостью вниз.

На первом участке в сечении 1-1:

MI(z) = - q1(z - a1)2/2 = - 14(z - 0)2/2 = - 14z2/2 =-7z2; 0£z1£1:

при z1=0  Ми1=0;

при z1 =1 м  Mи1 =-7×1=-7 кН×м;

на втором участке в сечении 2-2:

MII(z) = RA(z - L1) - q1(z - a1)2/2 + q1(z - b1)2/2 + M1 = -89.5(z - 1)- 14(z - 0)2/2 + 14(z - 1)2/2 - 14 = -89.5(z - 1)- 14z2/2 + 14(z2/2 - 1z + 0.5) - 14 = 
= -103.5z + 82.5;

1£z2£3:

при z2=1м  MII = -103.5·1 + 82.5 = -21 кНм;

     при z2=3м:              MII(3) = -103.5·3 + 82.5 = -228 кНм;

 

на третьем участке в сечении 3-3:

MIII(z) = RA(z - L1) + RB(z - L + L2) - q1(z - a1)2/2 + q1(z - b1)2/2 + M1 = -89.5(z - 1)+ 179.5(z - 6 + 3) - 14(z - 0)2/2 + 14(z - 1)2/2 - 14 = -89.5(z - 1)+ 179.5(z - 3) - 14z2/2 + 14(z2/2 - 1z + 0.5) - 14 = 
= 76z - 456;

3£z3£6:

при z3=3 Ми3= 76·3 - 456 = -228 кНм;

при z3=6 Mи3= 76·6 - 456 = 0.

В выбранном масштабе строим эпюру Ми, согласно правилам построения эпюр.

Проанализируем построение эпюр.

На первом участке действует распределенная нагрузка q, направленная вниз, следовательно, эпюра Q – наклонная прямая, эпюра М – парабола, направленная выпуклостью вверх – навстречу нагрузке. На участке, где Q>0, эпюра Ми возрастает, где Q<0 – убывает. В сечении, где Q=0 – убывает. В сечении, где Q=0, эпюра Ми имеет максимум.

На втором участке распределенной нагрузки нет q=0, следовательно, эпюра Q представляет собой прямую, параллельную оси Z , эпюра Ми – наклонную.

 

Эпюра Q претерпевает скачки только в сечениях, где приложены сосредоточенные силы – реакции опор, RB и сила Р, причем величина скачков равна по модулю величине сосредоточенных сил.

Между перым и вторым участками приложен сосредоточенный момент М, в результате чего на эпюре Ми наблюдается скачок, величина которого

 

соответствует величине сосредоточенного момента М. В сечении на границе участков «а» и «b» распределенная нагрузка дает на эпюре Q скачкообразное изменение угла наклона (параллельная прямая на первом участке стыкуется с наклонной на втором участке). На границе участков «b» и «с» эпюры Ми, плавного сопряжения между параболой и наклонной прямой не наблюдается, что обусловлено наличием в этом сечении балки сосредоточенной силы Р. Эпюры свидетельствуют о том, что все правила построения эпюр выполняются.

 

6. Определение  опасных сечений балки по нормальным s и касательным t напряжениям.

 

Максимальные нормальные напряжения smax возникают на втором участке балки в сечении, где действует максимальный изгибающий момент Миmax=-228 кН×м.

Максимальные касательные напряжения tmax возникают на третьем участке балки в сечении, где действует максимальная поперечная сила Qmax=-103 кН.

7. Определение  осевого момента инерции поперечного  сечения балки Ix относительно главной центральной оси X.

Осевой момент данного поперечного сечения балки Ix относительно центральной оси X определяется из соотношения

Ix=n×Ix проф+2×Ix листа,    (9)

где n – количество стандартных профилей в сечении (швеллер или двутавр). В данном примере n=2;

Ix проф – осевой момент инерции площади поперечного сечения профиля относительно центральной оси X. По таблице сортаментов, приведенной в приложении, для швеллера № 40: Ix проф=15220 cм4;

Ix листа – осевой момент инерции площади поперечного сечения листа относительно центральной оси X поперечного сечения балки, который равен моменту инерции Ix1листа относительно оси X1, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения листа, сложенному с произведением площади сечения листа на квадрат расстояния между осями X и X1.

,  (10)

где b – ширина полки швеллера. По таблице сортамента для швеллера N40 b=115 мм;

d – толщина листа прямоугольного сечения, задаваемая вариантом задания. В данном примере d=12 мм;

а – расстояние между осями X и X1. Для определения величины «а» используются заданные вариантом значения «d» и высота швеллера «h» из таблицы сортамента.

 

 

 

Примечание - Не следует путать размеры «а» и «b» сечения балки с размерами участков «а» и «b» балки.

В данном примере для швеллера № 22 a=(0,5×h+0,5×d)=124 см.

Ix =2×1810+2(+0,52 *2*11)=3639,14 см 4. (11)

8. Определение момента сопротивления изгибу сечения относительно оси X

,     (12)

где Ix – осевой момент инерции сечения, определенный в пункте 7,

ymax – расстояние от главной центральной оси Х сечения до наиболее удаленного от нее слоя волокон сечения.

.             (13)

В данном примере h1=h+2d,

= 110 +14 =124 см,   (14)

.    (15)

9. Определение  величины максимальных нормальных  напряжений в опасном сечении  балки.

,    (16)

.  (17)

10. Проверка прочности балки по нормальным напряжениям.

sмах=71,5 МПа<[s]=160 МПа.   (18)

Прочность балки обеспечена.

11. Определение закона распределения нормальных напряжений s по высоте сечения балки.

На полках smax=71,5 МПа.

По формуле определяем напряжения в нейтральном слое.

При y=0 s=0.

13. Определение коэффициента запаса прочности конструкции.

.           (19)

14. Определение количественной оценки рациональности сечения по удельному осевому моменту сопротивления сечения.

,    (20)

где wx – удельный осевой момент сопротивления сечения;

F – площадь сечения балки.

В данном примере F=2×Fпроф+2×Fлиста.

По таблице сортамента для швеллера N22 Fпроф=30,2 см2.

Площадь поперечного сечения листа

Fлиста=2×b×d=11*2*1,4=30,8 см2.

F=2×30,8+2×30,2=122 см2.

.          (21)

12. По вычисленным значениям s строим эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения балки