Расчет и конструирование элементов деревянного каркасного здания

 

Конструирование арок.

 

Конструктивное  решение: трехшарнирная клеедеревянная арка кругового очертания постоянного прямоугольного сечения без затяжки. Пролет - 24м. Высота - 9м. Материал - древесина 2 сорта. Шаг арок – 4,8м. Район строительства –г.Омск.

 

Определение геометрических размеров .

 

Начало  прямоугольных координат принимается  в центре левого опорного узла арки.

Длина дуги арки:

S=

S= = 31,74

Определяем  радиус арки:

 r = (l²+4f²)/(8f)=(24²+4*9²)/(8*9)=12,5 м.

Центральный угол дуги полуарки:

sinj=l/(2r)=24/(2*12,5)=0.9, этому соответствует j=66⁰; cosj=0.41;

 

Рис. 1. К расчету круговой арки.

Определение внутренних усилий.

 

Вычисления  усилий приводятся только в основных расчетных сечениях. Полупролет арки делится на 8 частей, образующих девять сечений от x=0 до x=9 м. Согласно прил.3 п.2 [СНиП II-3-79*] определяем координаты  (х,у) дополнительного сечения арки, , соответствующее φ=50 . Координаты сечений, углы наклона касательных к оси полуарки в этих сечениях определяются по формулам:

у =

x = l/2 – r * sinj

где: 

 Д = r-f      

j=arcsin((l/2-x)/r).

 

Д = 12,5-9= 3,5

Геометрические  величины оси левой полуарки.

                       

Координаты	0	0’	1	2	3	4
Х,м	0	2.5	3,5	6,37	9,25	12
У,м	0	4.64	5,66	7,66	8,69	9
φ	66	50	43	27	13	0
XI, м	0	0	1	3,87	6,75	9,5

 

Сбор нагрузок.

 

Табличный сбор нагрузок без учета криволинейности элемента.

 

Наименование нагрузок	Нормативная, кг/м2	Коэффициент надежности по нагрузке gf	Расчетная, кг/м2
Рулонная кровля	3	1,3	3,9
Покрытие (рабочий досчатый настил t=35мм.)	7,5	1,1	8,25
Защитный  слой настила t=25мм.	13,2	1,1	14,52
Утеплитель  δ=100мм, 2 слоя пароизоляции	20	1,3	26
Собственный вес арки	18,03	1,1	19,83
Итого	q =61,73		q =72,5
Снег  по [2] п. 5.2, табл. 4	126	1,4	176,4
Всего	qn = 187,73		qр = 248,9

 

 

 

 

 

Собственный  вес арки:

  = =18,03 кг/м²,

где q^н – нормативная нагрузка от покрытия, защитного слоя настила, кровли и утеплителя;

      р^н – нормативная снеговая нагрузка;

      к_св – коэффициент собственного веса (для арок принимается равным 4)  

 

Суммируем все нагрузки, действующие  на арку:

   =(3,9+8,25+14,52+26)*S/l=52,67*31,74/24=69,65 кг/м²

Расчетная  нагрузка на 1 п.м. арки:

Постоянная    q=(69,65+18,03)*B=87,68*4,8=420,86 кг/м.

Временная      р=с*р*m₂=0,3*176,4*2,25=119,07 кг/м²,

p = 119,07*4,8 = 571,36 кг/м² - линейно-распределенная нагрузка

где с=l/(8f)= 24/(8*9)=0,3 – коэффициент снегозадержания для криволинейных покрытий.

Статический расчет.

 

Сочетания нагрузок:

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету (постоянной):

Определяем  опорные реакции:

V_А=V_В=ql/2=420,86*24/2=5050,32 кг.

горизонтальная  реакция:

Н=ql²/8f=420,86*24²/8*9=3366,88кг.

 

б)  от распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете слева/справа р=719,7 кг/м².

V_А = 5рl’/24 = 5*571,36*19/24 = 2261,6кг.

V_В = рl’/24 =571,36*19/24 = 452,32 кг.

Н= l’²*p/(48f) = 19²*571,36/(48*9) = 477,45 кг.,

 

где l’=l-2х=24-2*2,5=19м.

 

1) М (кг*м)

 Уравнение равновесия (для постоянной нагрузки):

М_х=V_А*x-qx²/2-Hy;

 

0: М₀ = 5050,32*0 – 420,86*0²/2 – 3366,88*0 = 0

0’:М₀ ^, = 5050,32*2.5– 420,86*2.5²/2 – 3366,88*4.64 = - 4311,7

1: М₁ = 5050,32*3,5– 420,86*3,5²/2 – 3366,88*5,66 = - 3958,14

2: М₂ = 5050,32*6,37– 420,86*6,37²/2 – 3366,88*7,66= -2158,35

3: М₃ = 5050,32* 9,25 – 420,86*9,25²/2 – 3366,88*8,69 = -547,62

4: М₄ = 5050,32*12 – 420,86*12²/2 – 3366,88*9 = 0

 

Уравнение равновесия (для снеговой нагрузки слева):

М_х= V_А*x’ - px’²/2 + px’ ³/(3l’) - Hy;  

 

0: М₀ = 2261,6*0 – 571,36*0²/2 + 571,36*0³/ (3*19) – 477,45*0 = 0

0’:М₀ ^, = 2261,6 *0 -  571,36*0²/2 +  571,36*0³/ (3*19) -  477,45*4,64 = -2216,24

1: М₁ = 2261,6* 1– 571,36*1²/2 + 571,36*1³/ (3*19)  -  477,45*5,66 = -716,42

2: М₂ = 2261,6* 3,87 – 571,36*3,87²/2 + 571,36*3,87³/ (3*19)  -  477,45*7,66 =  1397,51

3: М₃ = 2261,6* 6,75 – 571,36*6,75²/2 + 571,36*6,75³/(3*19)  -  477,45*8,69 = 1183,27

4: М₄ = 2261,6*9,5– 571,36*9,5²/2 + 571,36*9,5³/(3*19) – 477,45*9 = 0

 

Уравнение равновесия (для снеговой нагрузки справа):

М_х= Vв*x’ -Hy;

 

0: М₀ = 452,32*0 – 477,45*0 = 0

0’:М₀ ^, = 452,32*0 – 477,45*4,64 = -2215,36

1: М₁ = 452,32* 1– 477,45*5,66= -2250,04

2: М₂ = 452,32*3,87– 477,45*7,66 = -1906,78

3: М₃ = 452,32*6,75– 477,45*8,69= - 1095,88

4: М₄ = 452,32*9,5 – 477,45*9 = 0

 

2) Q (кгс)

Определяем поперечные силы:

Q_x=(V_A-qx) cosj - H*sinj; 

 

0: Q₀ = (5050,32 – 420,86*0)*0,4 – 3366,88*0,91 = - 1043,73

0’: Q₀’ = (5050,32 – 420,86*2,5)*0,64 – 3366,88*0,76 = 405,63

1:  Q₁  = (5050,32– 420,86*3,5)*0,73 – 3366,88*0,68 = 321,95

2:  Q₂ = (5050,32 – 420,86*6,37)*0,89 – 3366,88*0,45 = 539.7

3:  Q₃ = (5050,32 – 420,86*9,25)*0,97 – 3366,88*0,22 = 381.83

4:  Q₄ = (5050,32– 420,86*12)*1 – 3366,88*0 = 0

 

Снеговая нагрузка слева:

Q_x=(V_A-px’+px ’²/l’)cosj-Hsinj;

 

0:  Q₀ = (2261.6 – 571.36*0 + (571.36*0²) / 19)*0,4 – 477.45*0,91=  469.93

0’: Q₀’ = (2261.6 – 571.36*0 + (571.36*0²) / 19)*0,64 – 477.45*0,76 = 1084.55

1:  Q₁  = (2261.6 – 571.36*1 + (571.36*1²) / 19)*0,73 – 477.45*0,68 = 931.16

2:  Q₂ = (2261.6 – 571.36*3.87 + (571.36*3.87²) / 19)*0,89 – 477.45*0,45 = 230.79

3:  Q₃ = (2261.6– 571.36*6.75 + (571.36*6.75²) / 19)*0,97 – 477.45*0,22 = -113.17

4:  Q₄ = (2261.6 – 571.36*9.5 + (571.36*9.5²) / 19)*1 – 477.45*0 = -452.36

 

Снеговая нагрузка справа:

Q_x=-V_Бcosj+Hsinj

 

0:  Q₀ = - 452.32*0,4 + 477.45*0,91 = 253.55

0’: Q₀’ = - 452.32*0,64 + 477.45*0,76 = 73.38

1:  Q₁  = - 452.32*0,73 + 477.45*0,68 = - 5.83

2:  Q₂ = - 452.32*0,89 + 477.45*0,45 = -187.7

3:  Q₃ = - 452.32*0,97 + 477.45*0,22 = -333.72

4:  Q₄ = - 452.32*1 + 477.45*0 = -452.32

 

3) N (кгс)

Постоянная нагрузка:

N_x=(V_A-qx)sinj+Hcosj;

 

0: N₀ = (5050.32- 420.86*0)*0,91+3366.88*0,4 = 5942.54

0’: N₀^, = (5050.32- 420.86*2,5)*0,76+3366.88*0,64 = 5193.4

1: N₁ = (5050.32- 420.86*3.5)*0,68+3366.88*0,73 =4890.39

2: N₂ = (5050.32- 420.86*6.37)*0,45+3366.88*0,89 = 4062.76

3: N₃ = (5050.32- 420.86*9.25)*0,22+3366.88*0,97 = 3520.49

4: N₄ = (5050.32- 420.86*12)*0+3366.88*1 = 3366.88

 

Снеговая нагрузка слева:

N_x=(V_A-px’+px²/l’)sinj+Hcosj;

 

0: N₀ = (2261.6-571.36*0+571.36*0²/19)*0,91+477.45*0,4 = 2248.49

0’: N₀^, = (2261.6-571.36*0+571.36*2.5²/19)*0,76+477.45*0,64 = 2167.21

1: N₁ = (2261.6-571.36*1+571.36*3.5 ²/19)*0,68+477.45*0,73 =1748.38

2: N₂ =(2261.6-571.36*3.87+571.36*6.37 ²/19)*0,45+477.45*0,89 = 996.74

3: N₃ =(2261.6-571.36*6.75+571.36*9.25 ²/19)*0,22+477.45*0,97 = 678.26

4: N₄ =(2261.6-571.36*9.5+571.36*12 ²/19)*0+477.45*1 = 477.45

 

Снеговая нагрузка справа:

N_x=-V_Бsinj-Hcosj;

 

0: N₀ = -452.32*0,91-477.45*0,4 = -602.59

0’: N₀^, = -452.32*0,76-477.45*0,64 = -649.32

1: N₁ = -452.32*0,68-477.45*0,73 = -656.1

2: N₂ = -452.32*0,45-477.45*0,89 = -628.47

3: N₃ = -452.32*0,22-477.45*0,97 = -562.62

4: N₄ = -452.32*0-477.45*1 = -477.45

 

Сечение	Усилия
	от постоян-ной нагрузки	От снеговой по треугольно распределенной форме. треугольной распределенной							Расчетные
		на левом полупролете		на правом полупролете			на всем пролете
1	2	3		4			5		6
М (кг м)
0	0		0		0	0		0
0’	-4311,7		-2216,24		-2215,36	-4431,6		-8743,3
1	-3958,14		-716,42		-2250,04	-2966,46		-6924,6
2	-2158,35		1397,51		-1906,78	-509,27		-2667,62
3	-547,62		1183,27		-1095,88	87,39		-460,23
4	0		0		0	0		0
5	-547,62		-1095,88		1183,27	87,39		-460.23
6	-2158,35		-1906,78		1397,51	-509,27		-2667.62
7	-3958,14		-2250,04		-716,42	-2966,46		-6924.6
8’	-4311,7		-2215,36		-2216,24	-4431,6		-8743.3
8	0		0		0	0		0
Q (кг)
0	- 1043,73		469.93		253.55	723.55		-790.18
0’	405,63		1084.55		73.38	1157.93		1563.56
1	321,95		931.16		- 5.83	925.33		1253.11
2	539.7		230.79		-187.7	43.09		770.49
3	381.83		-113.17		-333.72	-446.89		268.66
4	0		-452.36		-452.36	-452.36		+452.36
5	381.83		-333.72		-113.17	-446.89		268.66
6	539.7		-187.7		230.79	43.09		770.49
7	321.95		-5.83		931.16	925.33		1253.11
8’	405.63		73.38		1084.55	1157.93		1563.56
8	-1043.73		253.55		469.93	723.55		-790.18
N (кг)
0	5942.54		2248.49		-602.59	1645.9		8191.03
0’	5193.4		2167.21		-649.32	1517.89		7360.61
1	4890.39		1748.38		-656.1	1092.28		6638.77
2	4062.76		996.74		-628.47	368.27		5059.5
3	3520.49		678.26		-562.62	115.64		4198.75
4	3366.88		477.45		477.45	477.45		3844.33
5	3520.49		-562.62		678.26	115.64		4198.75
6	4062.76		-628.47		996.74	368.27		5059.5
7	4890.39		-656.1		1748.38	1092.28		6638.77
8’	5193.4		-649.32		2167.21	1517.89		7360.61
8	5942.54		-602.59		2248.49	1645.9		8191.03

 

 

 

Подбор сечения  арок.

 

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится:

h_опт=(1/30-1/40)l=(0.5-0.375) м.

Поперечное  сечение принимаем прямоугольным , постоянной высоты и ширины.

 

W = h_тр =

Ширину сечения  арки принимаем b=0.1м. по сортаменту пиломатериалов, рекомендуемых для клееных конструкций. [5] прил. 1

- М_max= - 8743,3кг м

- Расчетное  сопротивление древесины при  сжатии [СНиП II-25-80], R_c=130 кг/см². :

b = 14 см

h_тр = = 60,02 см.

Толщину досок  принимаем, а=2.5 см, а после острожки с двух сторон, а=2.1 см.

60.02 / 2,1 = 28,58          

Компонуем из 29 доски сечением 14х2.1 см, тогда высота сечения h=29*2.1=58,8=60,9 см.

Принятое  сечение b x h=14x61 см.

 

 

Проверка прочности  по нормальным напряжениям  при сжатии с изгибом.

 

Проверку  следует производить по формуле:

 

G=

,

Коэффициенты  условий работы:

- m_б=0.957 (зависит от высоты сечения балки)

-m_сл=1.1  (зависит от  толщины слоя) [СНиП II-25-80], табл. 7, 8

F_расч = b x h =14x60,9 =852,6 cм²

W_расч = bh²/6 =14x60,9²/6 =8653,89 см³

Максимальные  усилия: 

М_max= -8743.3 кг м., изгибающий момент.

N _соотв.= 8191.03 кг., продольная сила.

 

М_Д=

      x=1-N/jR_cF_бр;      j=

(при  гибкости элемента 

70.)

 

Где: N-продольное усилие

  гибкость

 площадь брутто

 

        

             

   

  j=   для сосны II сорта А=3000

 

   x=

 

G=

_{-коэффициент прочности  по назначению}

Запас по прочности  5,7 %

Вывод: прочность сечения обеспечена.

 

 

Проверка по касательным напряжениям.

 

Проверку  производим по формуле:

Максимальное  напряжение скалывания:                                                     

t=

Где:

Q_mах=1563.56кг.

  R_ск=15 кг/см²  (табл.3 [СНиП 2.01.07-85*])

Статический момент и момент инерции сечения  арки:

 S = bh²/8 =10*71.4²/8=6372.4 cм³;

J = bh³/12 =10*71.4³/12=303328.6 см⁴.

 

t=

Вывод: прочность по касательным напряжениям обеспечена.

 

 

Проверка устойчивости плоской формы деформирования.

 

Проверяем сечение на устойчивость из плоскости при:

М_max= -8743.3 кг м., N _соотв.= 8191.03 кг.

 

Проверку следует производить  по формуле:

G=

1,

где j_М - коэффициент, определяемый по формуле:

j_м=140

,

где -  расстояние между опорными сечениями элемента;

      k_ф =1.13 - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке l_p,

                      определяемый [СНиП II-25-80] по табл.2 прил.4.

 

j_м = 140* = 0.14.

Гибкость полуарки из ее плоскости l_у и коэффициент продольного изгиба j:

 l_у = l_p/i=1587/(0.289*10) = 549.1

 j = A/l_у²=3000/549.1² = 0.009

Т.к на участке  l_p из плоскости деформирования имеются закрепления в виде прогонов, коэффициент j_м  следует умножать на коэффициент k_pм и коэффициент j  следует умножать на коэффициент k_pN  по формулам:

k_pM = 0.142 * l_p/h+1.76 * h/l_p+1.4a_p = 0.142 * 1587/71.4+1.76 * 71.4/1587+1.4 *1.152 = 4,8

k_pN = 0.75+0.06(l_p/h)²+0.6a_pl_p/h = 0.75+0.06*(1587/71.4)²+0.6*1.152*1587/71.4 = 45.73

 

Проверка:          ,

 

Вывод: следовательно, устойчивость плоской формы деформирования обеспечена.

 

 

Расчет узлов арки.

 

Опорный узел.

 

Опорный узел решается с помощью стального  башмака из опорного листа и двусторонних фасонок с отверстиями для болтов.  Он  крепится к поверхности опоры нормальной к оси полуарки. Расчет узла производится на действие максимальных продольной N=8191.03 кг и поперечной Q= 1563.56 кг/м сил.

 

 

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

 

Опирание в узлах выполняется неполным сечением высотой h_б ≥ 0.4h= 0.4*71.4 = 28.56 см.

Принимаем h_б =29 см.

Площадь смятия F_см= bh_б =10*29=290 см².

Угол смятия a=0⁰.

Расчетное сопротивление  смятию вдоль волокон древесины  R_c=130 кг/см².

Напряжение s= =

Определение числа болтов крепления конца  полуарки к фасонкам.

Принимаются болты d=2 см. Они воспринимают поперечную силу и работают симметрично при ширине сечения b=c=10см, при двух швах n_ш =2 и угле смятия a=90⁰. Коэффициент К_a =0.55.

Несущая способность  болта в одном шве:

по изгибу болта:                     Т_и=250d^{2 =}250*2²* =741 кг

по смятию древесины:            Т_с=50сdK_a=50*10*2*0.55=550 кг = Т

 

Требуемое число болтов: n= .

Принимаем 2 болта  d=20 мм.

 

Определение толщины опорного листа:

Лист работает на изгиб от давления торца полуарки и реактивного давления фундамента. Длина торца l₁=b=10см. Длина листа l₂=29см. Расчетная ширина сечения b=1см.Давление торца q₁= N/F_см=8191.03/290 = 28.25 кг/см.

Давление  фундамента   q₂=q₁l₁/l₂=28,25*10/29=9.7 кг/см.

Изгибающий  момент    М=(q₂l₂²-q₁l₁²)/8=(9.7*29²-28,25*10²)/8=666.58 кг см.