Выборочный метод

Тема: Выборочный метод.

 

1. Выборочное наблюдение. Сущность выборочного метода и его задачи.
2. Виды и способы организации выборки.
3. Статистическая оценка параметров генеральной совокупность.

 

 

Выборочное наблюдение является одним  из видов несплошного наблюдения. Применение выборочного метода позволяет исследовать совокупность путем статистической оценки ее параметров на основании данных о специально отобранной части единиц совокупности.

Основные виды задач выборочного  метода:

1. Получить наилучшие оценки параметров генеральной совокупности;
2. определить степень точности и надежности оценок, т. е. иметь возможность вычислить характеристику ошибки оценок;
3. Снизить затраты средств и труда на обследование.

 

В чем необходимость использования  выборочного метода?

1. В связи с большой численностью совокупности сплошное наблюдение провести невозможно или затруднительно; например, при контроле качества продукции, при определении потерь урожая и др.
2. В целях экономии средств, времени, соединяющейся с возможностью расширения программы обследования (обследование бюджетов домашних хозяйств и др.)
3. Если сплошное наблюдение связано с порчей или даже уничтожением единиц наблюдения (контроль качества продукции и др.)

 

Часто выборочное наблюдение используется для проверки данный сплошного наблюдения (например, при переписи населения).

Важнейшими требованиями при проведении выборочного наблюдения являются:

1. Обеспечение равной возможности всем единицам совокупности попасть в выборку (принцип случайности выбора)
2. В выборочную совокупность должны попадать единицы (элементы), которые находятся  в равных условиях, они не должны сильно варьировать принцип однородной совокупности)
3. Выборочная совокупность должна быть достаточно представлена, чтобы по ней можно было судить о генеральной совокупности (принцип репрезентативности).

 

 

 

Организация выборочного наблюдения зависит от вида и способа отбора единиц в 

выборочную совокупность из генеральной.

Существует несколько видов  отбора:

1. собственно-случайный;
2. механический
3. типический;
4. серийный ( гнездовой)

Способы отбора:

• Повторный
• Бесповторный

При повторном отборе каждая отобранная единица или серия возвращается в генеральную совокупность и  продолжает участвовать в дальнейшем отборе.

При  бесповторном отборе  отобранная единица или серия в дальнейшем отборе не участвуют.

Собственно-случайный отбор.

Технически может быть осуществлен  с помощью  жеребьевки. Необходимое  количество единиц отбирается в случайном  порядке, при этих условиях каждая из них имеет одинаковую возможность  попасть в выборку. Случайный  отбор может осуществляться при помощи таблиц случайных чисел.

 

Механический отбор

Исходная совокупность расчленяется на равные группы. От каждой группы выбирают одну единицу. Поэтому групп делают столько , сколько единиц нужно для  выборочной совокупности. Отбор осуществляется через равные интервалы. При этом единицы совокупности предварительно располагают в определенном порядке, не влияющем на величину показателей. Например, совокупность учащихся располагают в алфавитном порядке по фамилиям.

Механический отбор всегда является бесповторным.

 

Типический отбор.

Исходная совокупность разделяется  на группы по типическому признаку на качественно  однородные группы. Затем из каждой группы собственно-случайным  или механическим отбором выбирается количесво единиц, пропорциональное удельному весу группы в исходной совокупности.

Типический отбор дает более  точные результаты, чем  собственно-случайный  или механический отбор.

 

Серийный  отбор.

Отбираются не отдельные единицы, а целые группы ( серии) единиц собственно-случайным  или механическим отбором. Внутри  каждой серии проводится сплошное наблюдение. Сери йный отбор легче организовать, чем отбор отдельных единиц,  поэтому такой вид отбора часто используется при обследовании качества выпускаемой продукции. Однако, точность полученных данных обычно несколько ниже, по сравнению с индивидуальной выборкой единиц совокупности того же объема.

В практической работе  применяется  одновременно несколько видов отбора при последовательных стадиях выборки.

Выборка называется многоступенчатой, если отбор единиц проходит по ступеням последовательными стадиями, причем каждая ступtym  имеет свою единицу отбора.

Например, отбор студентов при  обследовании успеваемости можно провести методом 2-х ступенчатого отбора. Сначала  отбираются учебные группы, а затем в каждой группе – число студентов.

Многофазная выборка  характеризуется  тем, что на всех ступенях отбора сохраняется  одна и та же едини ца отбора, но ступени ( фазы ) различаются по широте программы  обследования.

Например:

I фаза по краткой программе – 25% N

II фаза по расширенной программе – 15% N

III фаза по широкой программе – 5% N

 

 

  Статистической оценкой параметров  генеральной совокупности является:

а) выборочная величина этого параметра (точечная оценка).

б) интервальная оценка – доверительный интервал, в который с заданной вероятностью заключена неизвестная величина генерального параметра.

 

Интервальная оценка = Точечная оценка + Вероятностная ошибка репрезентативности

 

Ошибки репрезентативности могут  быть случайными и неслучайными (систематическими, тенденциозными). Систематические ошибки возникают в результате нарушения принципа случайности отбора.

Статистической оценке подлежат случайные  ошибки.

Любая совокупность может быть охарактеризована следующими обобщающими характеристиками:

 

	В генеральной совокупности	В выборочной совокупности
1. Число единиц, объем	N	n
2. Средняя величина
3. Дисперсия
4. Среднее квадратическое отклонение
5. Доля (отношение части единиц  совокупности ко всей совокупности  в целом)

 

 Ошибка оценки средней:

, откуда 

Ошибка оценки доли

, откуда 

Теория выборочного метода дает возможность определить случайные  ошибки обобщающих характеристик в  выборочной совокупности, используя  теоремы ЗБЧ и теории вероятностей (труды Пуассона, Бернулли, Чебышева, Маркова, Ляпунова).

(мю) – средняя квадратическая  величина всех возможных вариантов  выборочной средней от генеральной  средней, называется средней ошибкой  выборки.

 зависит от степени вариации  признака в генеральной совокупности и от объема выборки (n). Доказано, что эту зависимость можно выразить следующим образом:

или

Величина  зависит и от способа отбора. При бесповторном отборе она зависит от той доли, которую составляет объем выборки (n) в объеме генеральной совокупности (N). Ошибка пропорциональна величине .

Конкретная ошибка выборки может  принимать различные значения, но в большинстве случаев ее отношение  к средней ошибке называют нормированным отклонением или коэффициентом доверия:

, отсюда 

Коэффициент доверия функционально  связан с вероятностью. А. М. Ляпунов  доказал, что распределение ошибки оценки является нормальным. Вероятность отклонения выборочной средней от генеральной средней при достаточно большом n подчиняется закону нормально распределения. Вероятность этих отклонений можно определить по формуле:

Значение F(t) при различных значениях t можно определить по специальным таблицам.

При t = 1 F(t) = 0,683

При t = 2 F(t) = 0,954

При t = 3 F(t) = 0,997

Следовательно, ошибка выборки гарантируется  с той или иной вероятностью и  определяется:

тем больше, чем сильнее вариация признака,

тем больше, чем больше вероятность, с которой мы хотим ее гарантировать, что она не превзойдет данной величины.

будет тем меньше, чем больше объем выборки, причем для сокращения , например, в 2 раза, объем выборки нужно увеличить в 4 раза.

обычно называют предельной ошибкой  выборки при заданном уровне вероятности.

В формуле  значение обычно заменяется .

Однако, в выборке  имеет определенное смещение относительно генеральной совокупности. В математической статистике доказано, что соотношение между и следующее:

 или 

Но, если n достаточно велико (n>20), то близко к “1”. Поэтому можно использовать ( ) в качестве оценки ( ).

Часто в исследованиях оценке подвергается не средняя, а доля (% брака при  контроле качества продукции и др.)

Если долю единиц генеральной совокупности, обладающих данным свойством, обозначить w, то доля единиц, не обладающих данным свойством, составит 1-w. Тогда ошибка выборки для доли при случайном повторном отборе составит:

Таким образом формулы определения  предельной ошибки для собственно случайной  выборки:

	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Для средней
Для средней

 

При механическом отборе, представляющем собой разновидность случайного отбора средняя и предельная ошибки выборки рассчитываются по формулам для собственно случайного бесповторного отбора.

При типическом отборе общая дисперсия  выборки может быть представлена как сумма межгрупповой и средней  из внутригрупповых дисперсий (остаточной).

Средняя ошибка выборки будет включать только , т. к. в выборке обеспечивается представительство всех групп и поэтому самой выборкой воспроизводится

Формулы предельной ошибки доли для:

• средней ,
• доли

 

При серийном отборе общая численность  генеральной совокупности заменяется числом серий N_s. Среднее квадратическое отклонение выборки заменяется средним квадратическим отклонением средних (или доли) каждой серии от общей серии выборочной совокупности . Если в сериях количество единиц одинаковое, то предельная ошибка выборки определяется при случайном бесповторном отборе серий как:

Для средней  , где ;

Для доли .

Если серии содержат равное количество единиц, то характеристики выборки  – среднюю и среднее квадратическое отклонение необходимо рассчитать во взвешенной (по численности единиц в сериях) форме.