Выборочное исследование

 

 

В полученных выражениях объем генеральной совокупности ( ) считается известным, допустимая ошибка ( ) задана по условию, коэффициент доверия ( ) несложно найти по принятой доверительной вероятности. Проблема здесь возникает только в подстановке генеральной дисперсии. При проведении выборочного исследования она не известна и заменить ее нечем, так как объем выборочной совокупности должен быть установлен до формирования выборки, а выборочная дисперсия на этом этапе еще не установлена. Решить эту проблему можно только ориентировочно, либо на основе опыта прошлых исследований, либо путем проведения пробной выборки.

Обоснование расчетных формул определения необходимого объема выборки для оценки генеральной доли может быть сделано аналогичным образом. В случае повторного отбора справедливо следующее равенство:

 

 

При выражении отсюда получается следующая формула:

 

 

Аналогично для бесповторного отбора можно получить:

 

 

Здесь также бульшая часть необходимой для вычислений информации известна. Исключение составляет генеральная доля ( ), которая до поведения выборочного исследования не известна и заменить ее нечем.

Вместе с тем, существует максимальное значение дисперсии альтернативного признака:

Соответствует . Любые другие значения дают меньшую дисперсию.

 

 

Это максимальное значение дисперсии можно включить в расчетные формулы для обеспечения полной гарантии достаточности объема выборки. Тогда:

 

– для повторного отбора                       

 

– для бесповторного отбора         

 

Эти формулы позволяют выполнить вычисление необходимого объема выборки при неизвестной дисперсии генеральной доли.

 

Очень удобным оказывается использование специальных таблиц при решении третьей задачи выборочного исследования. Ниже приведен пример одной из таких таблиц.

Таблица достаточно большого объема выборки

 

Доверительная		Допустимая ошибка выборочной доли  ( )
вероятность ( )	0,1		0,08	0,05	0,03	0,01
0,85	51		80	207	575	5180
0,90	67		105	270	751	6763
0,95	96		150	384	1067	9603
0,99	165		259	663	1843	16587
0,997	220		344	880	2446	22018
0,999	270		422	1082	3007	27009

 

В таблице достаточный объем выборки установлен по максимальному значению дисперсии при условии применения повторного отбора.

 

Проиллюстрируем решение третьей задачи числовыми примерами.

 

Пример 1. С целью изучения уровня розничной цены на некоторый товар предполагается получить интервальную оценку ее среднего значения по всей совокупности из 3000 торговых заведений, расположенных в районе города. На основе расчета по пробной выборке установлено, что ориентировочное значение генерального среднеквадратического отклонения составляет  . Ошибка, которую при доверительной вероятности можно считать допустимой равна . На какой объем выборочной совокупности необходимо ориентироваться при ее формировании?

 

– Если выборка будет собственно случайной повторной, то:

 

.

 

Значение найдено по таблице удвоенных значений функции Лапласа для доверительной вероятности .

 

Таким образом, для получения интервальной оценки цены при доверительной вероятности 0,97 о допустимой ошибки  необходимо сформировать выборку объемом 600 единиц, или от всех торговых заведений района.

 

– Если выборка будет собственно случайной бесповторной, то:

 

 

Следовательно, переход к бесповторному отбору позволит получить интервальную оценку цены с той же точностью при меньшем объеме выборки – 500 единиц, или 16,7 % от всех торговых заведений района.

Заметим также, что переход к отбору единиц с предварительным разделением генеральной совокупности на части позволяет еще больше сократить требуемую численность выборки, так как в этом случае на нее оказывает влияние не полная вариация исследуемого признака, а некоторая ее часть:

 

– либо средняя внутригрупповая вариация при районированном отборе,

– либо межгрупповая (межсерийная) вариация при серийном отборе.

 

Для изучения поведения искомой численности выборки при разном объеме генеральной совокупности изменим условие задачи и будем считать, что та же интервальная оценка с одинаковой точностью должна быть получена по всем торговым заведениям города, число которых составляет 30000.

 

Для повторного метода отбора требуемая численность выборки не зависит от объема генеральной совокупности, то есть в новых условиях расчет даст тот же результат – , или 2 %  от генеральной совокупности.

 

Для бесповторной выборки:

 

или 1,93 %

 

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что с увеличением объема генеральной совокупности требуемая численность бесповторной выборки приближается к необходимому объему повторного отбора, то есть эффект перехода к бесповторному методу становится меньше.

 

При достаточно большом объеме генеральной совокупности можно во всех случаях прямо использовать более простые формулы расчета численности выборки, обоснованные для повторного метода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Районная налоговая инспекция собирается установить с помощью выборочного обследования долю юридических лиц, скрывающих часть своих доходов от налогообложения. Общее число юридических лиц, состоящих на учете . Требуемая точность оценки генеральной доли  при доверительной вероятности  . Выборку предполагается формировать собственно случайным бесповторным методом. Необходимо определить требуемый объем выборки.

 

Поскольку пробная выборка не производилась, то для обеспечения полной гарантии результата примем дисперсию альтернативного признака равной ее максимальному значению –  .

 

Тогда требуемый объем выборки составит:

 

 

Значение  установлено по таблице удвоенных значений функции Лапласа для доверительной вероятности .

 

Итак для ответа на поставленный вопрос с требуемой точностью налоговой инспекции предстоит обследовать 250 ё 260 юридических лиц, отобранных случайным бесповторным методом.