Уровень рождаемости в Германие и факторы, влияющие на данный уровень

    Предикторы Х3 и  Х5 описывают Уровень рождаемости  на 74,9%.

8. Модель со всеми предикторами:

    Уравнение регрессии:

    Уровень рождаемости = 0,3 - 0,017 Детская смертность

    - 0,413 Ожидаемая продолжительность жизни при рождении                                  + 5,15 Плодовитость женщин

                                + 0,69 Женское население

                                + 0,546 Рост сельского населения

    R-Sq = 98,3%

    Проанализировав все наилучшие модели, приходим к  выводу, что лучшей моделью является модель с тремя предикторами Х1 (детская смертность), Х3 (плодовитость женщин) и Х5 (рост сельского населении), зависимость данных предикторов с Уровнем рождаемости составляет 0,95179, 0,44751, 0,68268 соответственно. Коэффициент детерминации R² равен 97,6%, это значит, что эти предикторы описывают Уровень рождаемости (Y) на 97,6 %.

    Хотя  модель со всеми предикторами имеет  самый высокий коэффициент детерминации, равный 98,3%, данная модель не может исследоваться  в качестве наилучшей, так как  между некоторыми предикторами существует высокая коллинеарность.

    Проводя дальнейшие исследования будет использована модель с тремя предикторами (Х1, Х3 и Х5). 

    Проверка  F теста с заданным уровнем доверия.

    F-тест  проверяет значимость уравнения регрессии в целом, существует ли зависимость между постоянной и переменными.

    Выдвигаем гипотезы:

    H₀: ρ²=0

    H₁: ρ² >0

    При нулевой гипотезе подтверждается, что между переменными  и постоянной не существует зависимость.

    Если же подтверждается первая гипотеза, то устанавливается, что между постоянной и переменными существует зависимость.

    Для проверки теста  понадобятся значения F_stat и F_tab. 
 

    F_stat находим по следующей формуле:

    

    Source          DF       SS      MS       F      P

    Regression       3  22,4816  7,4939  244,05  0,000

    Residual Error  18   0,5527  0,0307

    Total           21  23,0343

     

    Найдем  Ftab с уровнем доверия α= 0,05

    F_tab= 3,15991 

    Сравнив значения F_tab и F_stat приходим в выводу, что F_tab< F_stat (3,15991<244,05), значит, отвергается нулевая гипотеза, и устанавливается, что выбранное уравнение регрессии в значительной степени описывает Уровень рождаемости на протяжении всех годов, которые были выбраны к качестве данных. 

    Тест  на коэффициент регрессии  проводится, чтобы установить все ли выбранные предикторы одинаково хорошо описывают модель во все периоды времени или всё же существуют некоторые отклонения.

    Выдвинем  следующие гипотезы:

    H₀: β₁≠0

    H₁: β₁=0

    H₀-нулевая гипотеза, которая предполагает, что между Уровнем рождаемости и Детской смертностью нет линейной зависимости

    H₁-альтернативная гипотеза, которая предполагает, что между ними есть линейная зависимость.

    H₀: β₃≠0

    H₁: β₃=0

    H₀-нулевая гипотеза, которая предполагает, что между Уровнем рождаемости и Плодовитостью женщин нет линейной зависимости

    H₁-альтернативная гипотеза, которая предполагает, что между ними есть линейная зависимость.

    H₀: β₅≠0

    H₁: β₅=0

    H₀-нулевая гипотеза, которая предполагает, что между Уровнем рождаемости и Ростом сельского населения нет линейной зависимости

    H₁-альтернативная гипотеза, которая предполагает, что между ними есть линейная зависимость.

    df=(n-k)=(22-4)=18

    Так как мы проводим 2-х хвостовой  тест, мы находим t_tab с уровнем доверия α/2= 0,05/2=0,025.

    t_(0,05/2)(18)= 2,10092

    t_stat вычисляется по следующей формуле:

    

    Для вычисления t_stat вычислим S_b (Стандартная ошибка коэффициента регрессии ) по формуле:

    

 

    S₁=0,03

    S₃=0,79

    S₅=0,14 
 

    Predictor                           Coef  SE Coef      T      VIF

    Constant                          1,5836   0,9771  1,62 

    Детская смертность                0,51050  0,03914  13,04    2,1

    Плодовитость  женщин               3,8616   0,7928   4,87     1,5

    Рост  сельского населения          0,9869   0,1419   6,96      1,8

    t_(0,05/2)(18)<t

    По  данным видно, что для всех предикторов отвергается нулевая гипотеза. Из этого следует, что между Уровнем рождаемости и всеми предикторами – детская смертность, плодовитость женщин и рост сельского населении существует линейная зависимость, на всем исследуемом промежутке времени.

    Проведя t-тест, установлены наилучшие предикторы, которые описывают изменения Уровня рождаемости. 

    Коэффициент детерминации показывает, на сколько зависит зависимая переменная от независимой.

    В данной задаче коэффициент детерминации показывает насколько взятые предикторы, объясняют изменение Уровня рождаемости. 

    Определим коэффициент детерминации по формуле:

      или 

    Для данной задачи коэффициент детерминации составляет R² = 97,6%, т.е. Уровень рождаемости на 97,6 % объясняется Детской смертностью, Плодовитостью женщин и Ростом сельского населения.

    Стандартная ошибка оценивания - это величина изменчивости, наблюдаемых значений Y, вокруг линии регрессии:

    

    S = 0,175230

    Это значит, что значения Y (Уровень рождаемости) будут отклоняться от линии регрессии на 0,175.

    Интерпретация коэффициентов уравнения.

    Для того, чтобы понять в какой степени  Детская смертность, Плодовитость женщин и Рост сельского населения влияют на изменение Уровень рождаемости.

    Уравнение регрессии имело следующий вид:

    Уровень рождаемости = 1,58 + 0,510 Детская смертность

                                      + 3,86 Плодовитость женщин

                                      + 0,987 Рост сельского населения

    Y=1,58+0,51X1+3,86Х3+0,987X5

    b₀=1,58    b₁=0,51    b₃=3,86   b₅=0,987

    Данные  коэффициенты интерпретируются следующим образом:

    b₀ показывает постоянный Уровень рождаемости, при отсутствии Детской смертности, Плодовитости женщин и Роста сельского населения. Из этого следует, что если все предикторы будут равняться нулю, то Уровень рождаемости будет составлять 1,58 ребенка на 1000 людей.

    b₁ показывает как изменится Уровень рождаемости, если Детская смертность увеличится на 1 ребенка. Следовательно, если Детская смертность увеличивается на 1 ребенка, то Уровень рождаемости увеличивается на 0,51 рожденного на 1000 человек.

    b₃ показывает как изменяется тот же Уровень рождаемости при измени Плодовитости женщин на 1го ребенка, т.е. если плодовитость женщин увеличится на 1 единицу, то уровень рождаемости увеличится на 3,86 ребенка.

    b₅ показывает изменчивость Уровня рождаемости, при Росте населения на 1%. И это изменение составляет 0,987. 

    Доверительные интервалы для  коэффициентов уравнения  регрессии с заданным коэффициентом доверия показывают, в каких промежутках лежат значении коэффициентов уравнения.

    Доверительный интервал вычисляется по формуле:

    

     2,08596

    S_b0= 0,97     S_b1=0,03     S_b3=0,79      S_b5=0,14

    b₀=1,58    b₁=0,51    b₃=3,86   b₅=0,987 

    Predictor                           Coef  SE Coef      T     

    Constant                          1,5836   0,9771   1,62 

    Mortality rate, infant (per 1,0  0,51050  0,03914  13,04 

    Fertility rate, total (births p   3,8616   0,7928   4,87 

    Rural population growth (annual   0,9869   0,1419   6,96   

    Итак,

    1,58-2,09*0,97<b₀<1,58+2,09*0,97

    -0,45<b₀<3,6

    0,51-2,09*0,03<b₅<0,51+2,09*0,03

    0,45<b₁<0,57

    3,86-2,09*0,79<b₇<3,86+2,09*0,79

    2,2<b₃<5,51

    0,987-2,09*0,14<b₅<0,987+2,09*0,14

    0,69<b₃<1,28

    Прогноз по уравнению для  данного значения. Доверительные интервалы 2 видов с заданным уровнем доверия.

    Прогнозируемый интервал используется, чтобы предсказать определенное значение y для данного значения х.

    

    Где

    Доверительный интервал используется для оценки среднего значения y для определенного значения x:

    

    Где

    Доверительным и прогнозируемым интервалом для Уровня рождаемости при уровне доверия 0,05, при Х1=8, Х3=2 и Х5=1 является        

                                                       95% CI              95% PI

                   (13,2814; 15,4739)  (13,2213; 15,5341) 

    Следовательно, с 95% уверенностью можно заявить, что среднее значение Уровня рождаемости при заданном значении Детской смертности=8, Плодовитости женщин=2 и Роста сельского населения=1 является интервал от 13,2814 до 15,4739. Значение же прогнозируемого Уровня доверия, при тех же значениях предикторов будет лежать в интервале от 13,2213 до 15,5341.  

    Коэффициент множественной детерминации r² _y.123

    Коэффициент множественной детерминации показывает какую долю зависимой Y объясняют  независимые переменные. В нашей задаче – это Х1, Х3 и Х5.

    Значит, r² _y.135= 97,6%

    Уровень рождаемости на 97,6% описывается Детской смертностью, Плодовитостью женщин и Ростом сельского населения, а остальные 2,4% другими факторами 

    Коэффициенты  частной детерминации r²_y5.7 и r²_y.7.5 

    Коэффициенты частичной детерминации показывают долю зависимой переменной, которая описывается одним предиктором, в то время как второй предиктор является постоянной величиной.