Средние величины в кормовой базе

ГЛАВА 2. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

 
2.1 СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ СРЕДНИХ  ВЕЛИЧИН 
Общественные явления в статистике изучаются с помощью обобщающих показателей, таких, как средние величины.  Под средней величиной понимается обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности. 
Средняя выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности и абстрагированную от индивидуальных особенностей отдельных единиц. Благодаря этой абстракции создаются предпосылки для выявления характерных, типичных размеров признака в совокупностях, для изучения свойств и закономерностей массовых общественных явлений в конкретных условиях места и времени. 
В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин: показатели средней заработной платы, средней продолжительности рабочего дня, среднего тарифного разряда рабочих, среднего уровня производительности труда, средней урожайности сельскохозяйственных культур и т.д. В каждом конкретном случае средние величины имеют определенное социально-экономическое содержание, обусловленное природой объекта. 
Общие принципы применения средних величин: 

1. при определении средней величины  в каждом конкретном случае  нужно исходить из качественного  содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых  признаков, а также имеющиеся  для расчета данные.

 
2. средняя величина должна прежде  всего  рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяют получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей. 

3. общие средние должны подкрепляться  групповыми средними 

4. необходим обоснованный выбор  единицы совокупности, для которой  рассчитывается средняя. 

2.2 ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН 
Средние величины выражают количественно определенные свойства статистических совокупностей. Средней величиной множества x₁, x₂,…x_nслужит такая величина x, рассмотрение которой в количестве x, x, … ,x – n-разпозволяет сохранить некоторое его математическое свойство. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей известно в статистике под названием определяющего свойства. 
Различным свойствам совокупности должны быть поставлены в соответствие различные виды средних: каждая из конкретных средних выражает определенное свойство совокупности. Определяющее свойство описывается функцией F (x₁, х₂, … , х_n), раскрытие которой приводит к установлению различных видов средних величин. Если определяющая функция выражает, например, действия суммирования значений х₁, х ₂, …х_n, то это свойство сохраняется заменой их средней арифметической; если функция выражает действие умножения, то это свойство сохраняется их средней геометрической и т.д. Характерно, что некоторые различные свойства могут описываться функциями одного вида. 
Наиболее широкий круг свойств совокупностей данных описывается определяющей функцией степенного вида: w = x^z,, принимающей различные выражения с изменением показателя степени – z. 
Таблица1 -  Виды средних величин 
 

Все рассмотренные виды средних  величин носят название «простых»: средняя арифметическая простая, средняя  геометрическая простая и т.д. Их расчет связан с анализом совокупностей, в которых каждое из индивидуальных значений осредняемого признака, называемых вариантами, встречается только один раз. 
 
В тех случаях, когда значения каждого варианта встречаются неоднократно, необходимо вычисление так называемых взвешенных средних. Взвешенные степенные средние описываются выражением: 
 
X – варианты осредняемого признака; F – веса вариантов. 
 
X =   
 
Веса в общем случае могут выражаться не только частотами, т.е. числами, характеризующими повторяемость вариантов, но и иными показателями, связанными с осредняемыми признаками. 

2.3  СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 
В практике планово-экономической работы применение средних величин чаще всего связано с вычислением средней арифметической. Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Методологически  расчет обеспечивается выражением свойства статистической совокупности в виде суммы значений варьирующего признака. Техника вычисления средней арифметической достаточно проста. Она состоит в нахождении сумм значений вариантов вариационного ряда и делении ее на число слагаемых. 
В процессе вычисления и статистико-экономического анализа средней арифметической может оказаться полезным знание некоторых ее математических свойств, приведенных без развернутых доказательств. 
1.          Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:    А = А  
при А  =  const. 
2.  Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: Σ (х – х)f = 0. 
3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признаков от средней арифметической есть число наименьшее: Σ (х – х)²f = 0. 
4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то и со средней арифметической произойдет аналогичные изменения:  . 
5. Если все варианты разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшиться в d раз:  . 
 
Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив упрощенный способ расчета, называемый «способом моментов», или способом отсчета от условного начала. Порядок вычислений определяется выражением 
 
X =          или        X = m₁*d+A 
 
Где А – середина одно из центральных интервалов, имеющего, как правило, наибольший вес; d – величина интервала; m₁ – момент первого порядка. 
 Результат вычислений по способу моментов аналогичен результату, который был бы получен применением рассмотренного основного способа расчета. 
 
1) Средняя арифметическая невзвешенная величина 
 
Если показатель степени равен 1, то получаем следующую форму средней: 
 
X =  , где 
 
xi – индивидуальные значения признака у отдельных единиц совокупности. 
Такая средняя величина называется средней арифметической простой (невзвешенной). 
Данная форма средней величины является наиболее распространенной. Она получается путем соотношения суммарного объема индивидуальных значений признака каждого элемента совокупности и числа элементов совокупности. Средняя арифметическая невзвешенная применяется в том случае, если имеются сведения об объеме осредняемого признака. 
 
2) Средняя арифметическая взвешенная величина 
Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным значением осредняемого признака, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная:X= , где 
X_i – индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности; 
f_i – значения признака-веса для каждой единицы совокупности. 

2.4 СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА 
 
Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. 
 
Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию в сравнении со средней арифметической и это ее свойство оказывается полезным качественных, интенсивных признаков. 
 
1) Средняя гармоническая невзвешенная величина. 
 
Если показатель степени равен (-1), то образуется следующая форма средней: 
 
X =  , где 
 
xi – индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности. 
 
Такая средняя величина называется средней гармонической простой (невзвешенной). Она взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака. 
 
Средняя гармоническая невзвешенная величина применяется в том случае, если согласно исходному соотношению средней необходимо, чтобы в знаменателе располагались обратные значения осредняемого признака. Данный вид средней применяется также, если значения признаков-весов одинаковы, следовательно, образуется тождество между средней гармонической взвешенной и средней гармонической невзвешенной. 
 
2) Средняя гармоническая взвешенная величина. 
 
Средняя гармоническая взвешенная величина имеет следующий вид: 
 
X=  
 
хi – осредняемый признак; 
 
w – значения сводного, объемного показателя, выступающего как признак-вес. 
 
Средняя гармоническая взвешенная величина рассчитывается в том случае, если имеющиеся данные предоставляют сведения об объеме определяющего показателя, рассчитываемого как произведение осредняемого признака и признака-веса. И если имеются также сведения об индивидуальных значениях осредняемого признака, а данные об отдельных значениях признака веса отсутствуют. 
 
Такая форма средней применяется, когда необходимо рассчитать: 
 
- общую среднюю из групповых средних величин; 
 
- среднюю относительную величину, если не известна величина, находящаяся в знаменателе осредняемого признака. 
 
  
 

2.5 СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА 
 
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения). 
 
Формула простой средней квадратической 
 
X =   
 
Формула  взвешенной средней квадратической 
 
Х=  

2.6 СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА 
 
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. 
 
1) Средняя геометрическая невзвешенная величина 
 
Если показатель степени равен 0, то получаем следующую форму средней: 
 
X =  , где; 
 
Пxi – произведение индивидуальных значений осредняемого признака; 
 
n – число элементов совокупности. 
 
Такая средняя величина называется средней геометрической простой (невзвешенной). 
 
Данная форма средней отличается от остальных форм, описанных выше, в той же мере, как арифметическая прогрессия от геометрической. То есть, в случае расчета средних арифметической и гармонической элементы совокупности представляли собой либо:  
 
а) абсолютные величины, которые могли быть просуммированы между собой; 
 
б) относительные величины, которые путем дополнительных расчетов переводились в абсолютные, и затем суммировались. 
 
В данной форме средней элементами исследуемой совокупности являются: 
 
1. Относительные величины, объединенные в ряд динамики, т.е. с учетом фактора времени. Например, темпы роста, или относительные величины планового задания и выполнения плана, или относительные величины сравнения, рассчитанные для нескольких периодов. То есть, в качестве единиц совокупности выступают величины, полученные путем соотнесения различных признаков, поэтому для таких величин средняя рассчитывается через их произведение. Кроме того вторичные показатели, которыми являются относительные величины динамики, не могут суммироваться. 
 
2. Максимальная и минимальная величины признака. То есть, в случае если известны лишь экстремальные значения признака (хmin и хmax), то средняя рассчитывается как корень квадратный произведения между ними: 
 
X=  
 
2) Средняя геометрическая взвешенная  
 
Данная форма средней применяется когда темпы роста остаются неизменными в течение нескольких периодов. Формула средней геометрической взвешенной определяется следующим образом: 
 
T_p=  
 
 
х – количество периодов, в течение которых темпы роста оставались неизменными

ГЛАВА 3. СРЕДНИЕ  ПОКАЗАТЕЛИ В ИЗУЧЕНИИ КОРМОВОЙ БАЗЫ