Специально организованное статистическое наблюдение

 

 

 

 

 

Группа поставщиков по продолжительности договорных связей с магазином. лет	Число поставщиков (частота)	Удельный вес поставщиков в группе в общей численности поставщиков, % (частость)	Накопленная частота
I     0-2	4	20	4
II    2-4	5	25	9
III    4-6	3	15	12
IV    6-8	5	25	17
V      8-10	3	15	20
Итого	20	100

 

 

Задание 3

 

Используя данные своего варианта, рассчитайте среднюю продолжительность договорных связей поставщиков с магазином и среднюю долю стандартной продукции в поставке. Вычислить показатели вариации продолжительности договорных связей с магазином. Размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Дать интерпретацию числовым значениям исчисленных показателей.

№ п/п	Продолжительность  договорных связей
1	9	3,7	13,69
2	10	4,7	22,09
3	4	1,3	1,69
4	8	2,7	7,29
5	6	0,7	0,49
6	2	3,3	10,89
7	7	1,7	2,89
8	3	2,3	5,29
9	4	1,3	1,69
10	5	0,3	0,09
11	9	3,7	13,69
12	4	1,3	1,69
13	3	2,3	5,29
14	8	2,7	7,29
15	2	3,3	10,89
16	1	4,3	18,49
17	0	5,3	28,09
18	6	0,7	0,49
19	7	1,7	2,89
20	8	2,7	7,29
Итого	106	50	162,2

 

 

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = Xmax - Xmin

R = 10 - 0 = 10

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

d = ∑|xi - x| • f;∑f

d = 48.4;20 = 2.42

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 2.42

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

D = ∑xi - x2 f;∑f

D = 151.2;20 = 7.56

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

σ = D = 7.56 = 2.75

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 4.8 в среднем на 2.75

Оценка среднеквадратического отклонения.

s = S2  = 7.96 = 2.82

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

v = σ;x = 2.75;4.8100% = 57.28%

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Задание 4

 

На основе интервального вариационного ряда распределения поставщиков товаров магазина определить модальный и медианный размер продолжительности договорных связей по формулам и графическим способом. Рассчитайте показатели формы распределения.

Сделайте выводы. По графическому изображению интервального ряда распределения предприятий визуально определить наличие или отсутствие асимметрии. Рассчитать показатель асимметрии.

Средняя взвешенная

x =  ∑x • f;∑f

x = 96;20 = 4.8

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Mo = x0 + h f2 - f1; f2 - f1 + f2 - f3

где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 2, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Mo = 2 + 2  5 - 4; 5 - 4 + 5 - 3 = 2.67

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 2.67

Медиана.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 2 - 4, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Me = x0 + h;fme   ∑f;2 - Sme-1

Me = 4 + 2;3   20;2 - 9  = 4.67

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 4.67.

Определим моду графическим способом

Определим медиану графическим способом

Степень асимметрии.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.

As = M3/s3

где M3 - центральный момент третьего порядка.

s - среднеквадратическое  отклонение.

M3 = 26.88/20 = 1.34

As = 1.34;2.753 = 0.0647

Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии

Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:

sAs = 6n-2;n+1n+3

Если выполняется соотношение |As|/sAs < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As|/sAs > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Задание 5

 

Используя данные статистического наблюдения, проведите корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи между продолжительностью договорных связей 20 поставщиков с магазином и качеством поставляемых ими товаров. Осуществите проверку существенности корреляции и достоверности аналитического выражения связи. На основе построенной регрессионной модели спрогнозируйте уровень качества товаров, если средняя продолжительность договорных связей с магазином составит в среднем 10 лет. Сделайте вывод.

. Находим параметры  уравнения методом наименьших  квадратов.

Система уравнений МНК:

 

 

Для наших данных система уравнений имеет вид:

 

Домножим уравнение (1) системы на (-5.3), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-106a -561.8 b = -9566.5

106 a + 724 b  = 9597

Получаем:

162.2 b  = 30.5

Откуда b = 0.188

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

20a + 106 b = 1805

20a + 106 • 0.188 = 1805

20a = 1785.07

a = 89.2534

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.188, a = 89.2534

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.188 x + 89.2534

 

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

 

№	X	Y	X2	Y2	X*Y
1	9	97	81	9409	873
2	10	90	100	8100	900
3	4	89	16	7921	356
4	8	79	64	6241	632
5	6	78	36	6084	468
6	2	80	4	6400	160
7	7	94	49	8836	658
8	3	92	9	8464	276
9	4	90	16	8100	360
10	5	98	25	9604	490
11	9	98	81	9604	882
12	4	96	16	9216	384
13	3	94	9	8836	282
14	8	97	64	9409	776
15	2	93	4	8649	186
16	1	92	1	8464	92
17	0	87	0	7569	0
18	6	89	36	7921	534
19	7	88	49	7744	616
20	8	84	64	7056	672
Итого:	106	1805	724	163627	9597

 

 

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

x = ∑xi;n =  106;20 = 5.3

y = ∑yi;n =  1805;20 = 90.25

xy = ∑xiyi;n =  9597;20 = 479.85

Выборочные дисперсии:

S2x = ∑x2i;n - x2 =  724;20 - 5.32 = 8.11

S2y = ∑y2i;n - y2 =  163627;20 - 90.252 = 36.29

Среднеквадратическое отклонение

Sx = S2x =  8.11 = 2.848

Sy = S2y =  36.29 = 6.024

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

b = x • y-x • y;S2x = 479.85-5.3 • 90.25;8.11 = 0.188

Коэффициент корреляции

Ковариация.

covxy = x • y - x • y = 479.85 - 5.3 • 90.25 = 1.53

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

rxy = x • y -x • y ;Sx • Sy = 479.85 - 5.3 • 90.25;2.848 • 6.024 = 0.0889

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X  слабая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

rxy = bSx;Sy = 0.192.848;6.024 = 0.0889

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

yx = rxy x - x;Sx Sy  + y = 0.0889 x - 5.3;2.848 6.024 + 90.25 = 0.19x  + 89.25

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.19 x  + 89.25

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.19 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.19.

Коэффициент a = 89.25 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Коэффициент эластичности.

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = ∂y;∂x x;y = bx;y

E = 0.195.3;90.25 = 0.011

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

При х=10, y= 0.188*10 + 89.2534 =91.334

 

 

 

Список литературы

1. Годин А.М. Статистика. Учебник – М., 2002.
2. Гусаров В. М. Статистика: учебное пособие для вузов. – М., 2002.
3. Ефимова М.Р., Петрова Е.В. Общая теория статистики: Учебник. – М., 1998.
4. Котлер Ф., Амстронг Г., Сондерс Дж., Вонг В. Основы маркетинга / Пер. с англ. – 2-е европ. изд. – М.; СПб.; К.: Издат. дом «Вильямс», 1999.
5. Мазманова Б.Г. Методические вопросы прогнозирования сбыта // Маркетинг в России и за рубежом. – 2000. – №1.
6. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. Учебник / А.И. Харламов и др. – М. Финансы и статистика, 1998.
7. Социальная статистика Учебник. / Под ред. И.И. Елисеевой – 3-е издание, переработанное и дополненное – Москва, "Финансы и статистика", 2001.
8. Теория статистики. Учебник. / Под редакцией проф. Р.А. Шмойловой – М., 2000.