Построение ряда распределения и расчет показателей

 

      По  исходным данным:

      1. Постройте статистический ряд  распределения предприятий по  прибыли от реализации продукции,  образовав 5 групп с равными  интервалами.

      2. Постройте графики ряда распределения.  Графически определите значения  моды и медианы.

      3. Рассчитайте характеристики ряда  распределения предприятий по  прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

      4. Вычислите среднюю величину по  исходным данным. Сравните ее  величину с аналогичным показателем  п. 3. Объясните причину их несовпадения.

      Сделайте  выводы.

2.2 Решение задачи 

     Для проведения группировки необходимо разбить исходную совокупность на интервалы, то есть составляем ранжированный ряд распределения. Количество интервалов задано условием задачи. Шаг интервала рассчитываем по формуле:

                                     h =

,                                                          (1)

где Х_MAX = 790 тыс. руб. – максимальное значение прибыли от реализации;

        Х_MIN = 280 тыс. руб. – минимальное значение прибыли от реализации;

        к = 5 – число интервалов в  соответствии с заданием.

      Тогда шаг интервала составит:

h =

= 102 тыс. руб.

     Рассчитываем  границы интервалов. Для этого  минимальное значение товарооборота  принимаем за нижнюю границу первого  интервала, а верхняя граница  получается прибавлением к нижней границе шага интервала (табл.3.2).

     Таблица 3.2

     Определение границ интервалов

 

     Суммарные результаты определяются простым суммированием, а средние – делением полученных сумм на количество предприятий в  группах или по совокупности в  целом.

     Результаты  произведённых расчётов оформим  в виде расчётно-аналитической таблицы 3.3.

     Таблица 3.3

Группировка предприятий по объёму прибыли от реализации

(тыс.  руб.)

 

      Для более наглядного представления  о распределении,  а также для  графического определения указанных  в задании параметров, построим гистограмму  распределения, а также полигон  и кумуляту распределения.

      Исходные  данные для построения графиков представлены в таблице 3.4.

      При построении полигона частот и кумуляты вместо частот используем показатели частости, рассчитываемые как отношение частоты соответствующего показателя к общей сумме частот (Отметим, что сумма частостей по всей совокупности всегда равна 1).

     Таблица 3.4

      Ранжированный вариационный ряд распределения

 

      Гистограмма распределения представлена на рис.3.1.

      На  гистограмме чётко видно, что  распределение близко к нормальному, при этом наибольшее по сумме получаемой прибыли от реализации количество предприятий  относится к срединному интервалу (интервал № 3, 484 – 585, тыс. руб.), при этом к трём средним интервалам можно отнести 33 предприятия, или 82,5 % от общего их количества.

      Для определения моды и медианы графическим  способом построим полигон распределения  и кумуляту частостей (рис.3.2).

      Модой называют чаще всего встречающийся  вариант, или модой называют то значение признака, которое соответствует  максимальной точке теоретической  кривой распределения. В интервальном вариационном ряду модой приближённо  считают центральный вариант  так называемого модального интервала, то есть того интервала, который имеет  наибольшую частоту.

      Из  гистограммы видно, что модальный  интервал – это интервал 484 до 585 тыс. руб., на котором находятся 14 предприятий. Срединное значение прибыли от реализации на данном интервале – 535 тыс. руб.

      

     В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой, и аналитически.

     Конкретное  значение моды для интервального  ряда определяется формулой:

          Мо = x_мо + h

,                                                  (2)

Где х_мо – нижняя граница модального интервала;

f_M0 – частота, соответствующая модальному интервалу;

f_M0-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;

f_M0+1 – частота интервала, следующего за модальным.

     Рассчитаем  значение показателя, считая, что модальным интервалом является 3 интервал:

     Мо = 484 + 102

= 563,333 тыс. руб.

     Таким образом, значение моды, которое несколько  выше среднего значения прибыли, показывает, что прибыль в реальности выше, нежели полученная при расчёте средних величин.

      Как видим, значение моды, полученное расчётным  путём, существенно отличается от значения, полученного путём аналитическим.

      Медиана – это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.

      Для определения медианы интервального  ряда распределения графическим  путём следует провести прямую, параллельную оси абсцисс, через точу, соответствующую  частости, равной 0,5, до пересечения с кривой накопленных частостей и из этой точки опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Этой точке соответствует значение прибыли от продажи 542,5 тыс. руб. Именно это значение делит всю совокупность на две равные части – по 20 предприятий.

      Как и в случае с модой, медиана  может быть рассчитана и аналитическим  путём, по формуле:

     Медиана интервального ряда определяется по формуле:

                            М_Е = х₀ + h

,                                                        (3)

где Х₀ – нижняя граница медианного интервала;

 h – величина медианного интервала;

  S_m-1 – сумма накопленной частоты интервала, предшествующего медианному;

  f_m – частота медианного интервала.

     Половина  суммы частот ряда распределения:

     

= 20

      Медианным интервалом является третий интервал, в котором достигается средняя частота. Его нижняя граница Х₀ = 484 тыс. руб.

     Сумма накопленной частоты интервалов, предшествующих медианному:

     S_m-1 = 2 + 7 = 9

     Рассчитаем  медиану:

     М_Е = 484 + 102

= 564,143 тыс. руб.

     Значения  медианы и среднее значение медианного интервала не совпадают, значение медианы существенно выше, то есть менее половины предприятий имеют прибыль ниже средней, а более половины – выше средней. При этом это значение выше среднего по совокупности, то есть основная часть предприятий имеет прибыль выше средней.

     Среднее значение признака рассчитаем по формуле  для взвешенной средней арифметической:

                                                 х_СР =

,                                                    (4)

Где х – срединные значения интервалов.

     Произведём  расчёт:

     х_СР =

= 562,613 тыс. руб.

     Отметим, что среднее значение прибыли  от реализации, рассчитанное по всем значениям (по формуле простой средней арифметической; Таблица 3.3) составило 551 тыс. руб. и существенно отличается от рассчитанного выше. Разницу можно объяснить в смещении оценок – расчёт по формуле средней арифметической взвешенной вёлся с использованием показателя середины интервала, которая далеко не всегда соответствует среднему значению на интервале и искажает несколько реальные данные.