Общее понятие статистики. Предмет статистики

Xmo - нижняя граница модальности (интервал ряда с наибольшей частотой)

Mo - величина интервала

fMo - частота модального интервала

fMo-1 - частота  интервала предшествующего модальному

fMo+1 - частота  интервала следующего за модальным

Медианой называется такое значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения  на две равные части по объему частот. Медиана рассчитывается по разному в дискретных и интервальных рядах.

1. Если ряд  распределения дискретный и состоит  из четного числа членов, то  медиана определяется как средняя  величина из двух серединных  значений рангированного ряда признаков.

2. Если в дискретном  ряду распределения нечетное  число уровней, то медианой  будет серединное значение рангированного ряда признаков.

В интервальных рядах медиана определяется по формуле:

 

 - нижняя граница медианного  интервала (интервала для которого  накопленная частота впервые  превысит полусумму частот)

Me - величина интервала

 - сумма частот ряда 

 - сумма накопленных частот  предшествующих медианному интервалу 

 - частота медианного интервала 

Общее понятие о вариации

Вариацией называется различие значений признака у отдельных  единиц совокупности.

Вариация возникает  в силу того, что отдельные значения признака формируются по влияние  большого числа взаимосвязанных  факторов. Эти факторы часто действуют  в противоположных направлениях и их совместное действие формирует значение признаков у конкретной единицы совокупности. Необходимость изучения вариаций связана с тем, что средняя величина, обобщающая данные статистического наблюдения, на показывает как колеблется вокруг нее индивидуальное значение признака. Вариации присущи явлениям природы и общества. При этом революция в обществе происходит быстрее, чем аналогичные изменения в природе. Объективно существуют также вариации в пространстве и во времени.

Вариации  в пространстве показывают различие статистических показателей относящихся к различным административно-территориальным единицам.

Вариации  во времени показывают различие показателей в зависимости от периода или момента времени к которым они относятся.

Меры  вариаций

К примерам вариаций относятся следующие показатели:

1. размах вариаций

2. среднее линейное  отклонение 

3. среднее квадратическое отклонение

4. дисперсия 

5. коэффициент 

1. Размах вариаций является ее простейшим показателем. Он определяется как разность между максимальным и минимальным значение признака. Недостаток этого показателя заключается в том, что он зависит только от двух крайних значений признака (min, max) и не характеризует колеблимость внутри совокупности. R=Xmax-Xmin.

2. Среднее линейное отклонение является средней величиной абсолютных значений отклонений от средней арифметической. Оно определяется по формуле:

 - простая   

Отклонения берутся  по модулю, т.к. в противном случае, из-за математических свойств средней величины, они всегда были бы равны нулю.

4. Дисперсия (средний квадрат отклонений) имеет наибольшее применение в статистике как показатель меры колеблимости.

Дисперсия определяется по формулам:

   

пример: стр. 36

Дисперсия является именованным показателем. Она измеряется в единицах соответствующих квадрату единиц измерения изучаемого признака. В данном случае она показывает, что средний размер отклонения прибыли по 50 предприятиям от средней прибыли составляет 1,48.

Дисперсия может  быть также определена по формуле:

;  

3. Среднее квадратическое отклонение определяется как корень из дисперсии.

   

По исходным данным приведенным выше, среднее квадратическое отклонение равно:

 

5. Коэффициент вариаций определяется как отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака, выраженное в процентах:

 

Он характеризует  количественную однородность статистической совокупности. Если данный коэффициент < 50%, то это говорит об однородности статистической совокупности. Если же совокупность не однородна, то любые  статистические исследования можно  проводить только внутри выделенных однородных групп.

Дисперсия альтернативного  признака

Альтернативными называются 2 взаимоисключающих друг друга признака. То признаки, которыми каждая отдельная единица совокупности либо обладает, либо не обладает. Наличие альтернативного признака принято обозначать через единицу, а отсутствие через 0. Долю единиц обладающих данным признаком обозначают через p (п), а долю единиц на обладающих данным признаком обозначают через q. При этом p+q=1.

Дисперсия альтернативного  признака определяется по формуле:

 

Виды  дисперсий. Привила  их сложения.

Если исследуемую  статистическую совокупность разделить  на группу, то для каждой из них можно  определить групповые средние и  дисперсии. Эти дисперсии будет  характеризовать колеблимость изучаемого признака каждой отдельной группе. На этой основе можно определить среднюю изнутри групповых дисперсий.

 

- i=fi- численность единиц в отдельных группах

Эта дисперсия  характеризует случайную вариацию признака, на зависящую от фактора  положенного в основание группировки.

Вычисляется также  межгрупповая дисперсия  .

 

и ni=fiсоответственно средние и численности по отдельным группам.

Эта дисперсия  характеризует вариацию по влиянием группировочного признака. Сумма средней изнутри групповых и межгрупповой дисперсий позволяет определить общую дисперсию.

  

Данное равенство  называют правилом сложения дисперсий.

; , т.е. существует тесная зависимость между изготовлением деталей и другими показателями.

Если значения исследуемого признака выражаются в  долях или коэффициентах, то правило  сложения дисперсий выражается следующими формулами:

   

- i - численность единиц в отдельных группах

pi - доля изучаемого признака во всей совокупности

   

 

средняя из внутригрупповых дисперсий для долей признаков

Виды  и формы зависимости  между социально-экономическими явлениями

Многообразие  взаимосвязей в которых находятся социально-экономические явления, рождают необходимость в их классификации.

По видам различают  функциональную и корреляционную зависимость.

Функциональной называют такую зависимость, при которой одному значению факторного признака X соответствует одно строго определенное значение результативного признака Y.

В отличие от функциональной зависимости, корреляционная выражает такую связь между социально-экономическими явлениями, при которой одному значению факторного признака X могут соответствовать несколько значений результативного признака Y.

По направлению  различают прямую и обратную зависимость.

Прямой называют такую зависимость, при которой значение факторного признака X и результативного признака Y изменяются в одном направлении. Т.о. при увеличении значения X, значения Y в среднем увеличиваются, а при уменьшении X - Y уменьшается.

Обратная зависимость между факторным и результативным признаками, если они изменяются в противоположных направлениях.

Статистические  методы изучения взаимосвязей

Важное место  в статистическом изучении взаимосвязей занимают следующие методы:

1. Метод приведения  параллельных данных.

2. Метод аналитических  группировок. 

3. Графический  метод. 

4. Балансовый  метод. 

5. Индексный  метод. 

6. Корреляционно-регрессионный. 

1. Сущность  метода приведения параллельных данных заключается в следующем:

Исходные данные по признаку X располагаются в порядке  возрастания или убывания, а по признаку Y записываются соответствующие  им показатели. Путем сопоставления  значений X и Y, делается вывод о наличии  и направлении зависимости.

3. Сущность  графического метода составляет наглядное представление наличия и направления взаимосвязей между признаками. Для этого значение факторного признака X располагается по оси абсцисс, а значение результативного признака по оси ординат. По совместному расположению точек на графике делают вывод о направлении и наличии зависимости. При этом возможны следующие варианты:

а \, б/ (вверх) , в\ (вниз).

Если точки  на графике расположены беспорядочно (а), то зависимость между изучаемыми признаками отсутствует.

Если точки  на графике концентрируются вокруг прямой (б)/, зависимость между признаками прямая.

Если точки  концентрируются вокруг прямой (в)\, то это свидетельствует о наличии  обратной зависимости.

На основе метода параллельных данных и графического метода, могут быть рассчитаны показатели, характеризующие степень тесноты  корреляционной зависимости.

Наиболее кратным  из них является коэффициент знаков Фехнера. Он рассчитывается по формуле:

 

C - сумма совпадающих  знаков отклонений индивидуальных  значений признака от средней.

H - сумма несовпадений 

Данный коэффициент  изменяется в пределах (-1;1).

Значение KF=0 свидетельствует  об отсутствии зависимости между  изучаемыми признаками.

Если KF=±1, то это  говорит о наличии функциональной прямой (+) и обратной (-) зависимости. При значении KF>½0,6½делается вывод о наличии сильной прямой (обратной) зависимости между признаками. Кроме того на основе исходных данных о факторном и результативном признаках, может быть рассчитан коэффициент корреляции рангов Спирмена, который определяется по формуле:

 

 - квадраты разности рангов 

(R2-R1), n - число пар рангов

Данный коэффициент, как и предыдущий, изменяется в  тех же пределах и имеет одинаковую с KFэкономическую интерпретацию.

В тех случаях, когда значение X или Y выражаются одинаковыми  показателями, коэффициент корреляции рангов рассчитывается по следующей  формуле:

 

tj - одинаковое число рангов в j - ряду

Если исследуется  зависимость между тремя и  более математическими признаками, то для ее исследования применяется  коэффициент конкордации определяемый по формуле:

 

m - количество факторов

- - число наблюдений 

S - отклонение  суммы квадратов рангов от  средней квадратов рангов 

Изучение  зависимости между  количественными  признаками

Для исследования взаимосвязи качественных альтернативных признаков, принимающих только 2 взаимоисключающих  значения, используется коэффициент  ассоциации и контингенции. При расчете этих коэффициентов составляется т.н. таблица 4-х камней, а сами коэффициенты рассчитываются по формуле: