Анализ статистической совокупности

p>       Задача 3.

       3,а. Если величина V_σ удовлетворяет условию 0%<V_σ≤40%, то степень колеблемости незначительна. В данной совокупности выполняется это условие.

       0%<23,0663639≤40%

       0%<23,79170449≤40%

       3,б. Совокупность является количественно однородной по тому или иному признаку, когда выполняется неравенство V_σ≤33%. Коэффициенты вариации по каждому признаку удовлетворяют данному условию. Следовательно, совокупности являются количественно однородными.

       3,в. Если , то значения признака неустойчивы. В них имеются «аномальные» выбросы.

         

       

       Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение  и исключение нетипичных единиц наблюдения при выполнении задания 1, некоторые  аномалии в первичных данных продолжают сохраняться.

       Аномалии  следует выявить и удалить  из выборки.

       3,г. 

       Обобщим данные и составим таблицу

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния  признака относительно 

       Согласно  вероятностной теореме П.Л. Чебышева, следует ожидать, что независимо от формы распределения 75% значений признака будут находиться в диапазоне ( ), а 89% значений – в диапазоне ( )

       В нормально распределенных и близких  к ним рядах вероятные оценки диапазонов рассеяния значений признака таковы:

       - 68,3% войдет в диапазон ( )

       - 95,4% попадет в диапазон ( )                                                                       (1)

       - 99,7% появится в диапазоне ( )

       Соотношение (1) известно как правило «трех  сигм».

       В нашем случае значения каждого из признаков отлично от правила  «трех сигм». Значения второго признака ближе к правилу. 

       Задача 4.

       4,а. Размах вариации R= Х _max-Х _min. R для первого признака – 204 млн руб., для второго – 140 млн руб.. Размах вариации устанавливает предельное значение амплитуды колебаний признака.

Среднее линейное отклонение по первому признаку равно  35,44, по второму - 28,42222222. В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределениям между показателями σ и d имеет место равенство: d ≈ 0,8 σ.

       Первый  признак: d ≈ 0,8*46,04815113 ≈ 36,838520904.

       Второй  признак: d ≈ 0,8*34,06179026 ≈ 27,249432208

       Рассчитанные  по формуле значения приблизительно равны значениям, рассчитанным с  помощью программы MS Excel.

       Дисперсия σ_n² оценивает средний квадрат отклонений ( ). Величина σ очень чутко реагирует на вариацию признака (за счет возведения отклонений в квадрат) и органически вписывается в аппарат математической статистики (дисперсионный, корреляционный анализ и др.). Дисперсия первого признака (2120,432222) более, чем в 1,5 раза превосходит значение дисперсии второго признака (1160,205556).

       Среднее квадратическое отклонение σ показывает, насколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака х_i от их средней величины . Так, индивидуальные значения первого признака отличаются от на 46,04815113 млн руб., а второго – на 34,06179026 млн руб..

       4,б.  Совокупность является количественно однородной по тому или иному признаку, когда выполняется неравенство Vσ≤33%. Коэффициенты вариации по каждому признаку удовлетворяют данному условию. Следовательно, совокупности являются количественно однородными.

       4,в. Для оценки надежности (типичности) средней величины х можно воспользоваться значением показателя вариации V_σ. Если его значение невелико, т.е. <40% (как в нашем случае), то индивидуальные значения признака х_i мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны и, следовательно, средняя арифметическая величина является надежной характеристикой данной совокупности.

       4,г.  Если As<0, то асимметрия левосторонняя, если As>0, то асимметрия правосторонняя. И для первого (0,708678471), и для второго (0,856286955) признака асимметрия левосторонняя.

       │As│>0,5. Следовательно, асимметрия существенная. 

       Задача 5.

       Интервальный  вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку  представлен в таблице 7. Гистограмма и кумулята интервального ряда распределения предприятий изображены на Диаграмме 2.

       Для полученного интервального ряда значение моды рассчитывается по формуле:

       

         млн руб.

       Значение  моды в таблице 3 – Мо=167 млн руб.. 

       Для несгруппированных данных мода - это  значение признака с наибольшей частотой появления. В интервальном ряду вычисление моды весьма условно. Поэтому между  ними могут быть различия. 
 

Анализ  генеральной совокупности. 

       Задача 1.

       На  основе имеющихся данных составим таблицу

Таблица 10

Описательные  статистики генеральной  совокупности

       

       

       

       

       В нашем случае обе дисперсии совпадают.

       R_n =204 млн руб.

       R_N =6σ_N

       R_N=281 млн руб.

       Значение  размаха вариации различно, поскольку  из генеральной совокупности были удалены  аномальные значения признаков.  

       Задача 2.

       2,a. Средняя ошибка выборки (µ_Ч̃ ) первого признака - 8,550926996 млн руб., второго - 6,325115661млн руб..

       2,б.  Предельная ошибка выборки Δ_Ч̃ определяет границы, в пределах которых лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней – случайную область значений, которая с вероятностью Р, близкой к 1, гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности. Наиболее часто используются уровни надежности Р=0,954; Р=0,997; Р=0,683.

       В математической статистике доказано, что: Δ_Ч̃=t* µ_Ч̃.

       Составим  таблицу

       Таблица 8

       Предельные  ошибки выборки и  ожидаемые границы  для генеральных  средних 

 

       Таким образом, предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения показателей генеральной совокупности и их доверительные интервалы.  

       Задача 3.

       Если  As<0, то асимметрия левосторонняя, если As>0, то асимметрия правосторонняя. Для первого признака асимметрия левосторонняя (-0,03462322), для второго – правосторонняя (0,085504193).

       │As│≤0,25. Следовательно, асимметрия незначительная.

       Для первого признака Ek>0. Следовательно, вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средним.

       Для второго признака Ek<0. Следовательно, вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от Х_max до Х_min.

       │Ek│ не значителен. Следовательно, кривая распределения незначительно отличается от нормальной.