Колебательные контуры и их частотные характеристики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

Воронежский государственный технический университет 

Кафедра «Системы информационной безопасности» 
 
 
 
 
 
 

Реферат

по дисциплине «Электроника и схемотехника»

на тему  «Колебательные контуры и их частотные  характеристики »   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      Выполнил:

                                                      Пономарёв К.В.

                                                      Проверила:

                                                      Доц. Воробьева Е.И 
 
 
 
 
 

Воронеж 2009 
 
 
 
 

                        Определение.

      Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая последовательно соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур - простейшая система, в которой  могут происходить свободные  электромагнитные колебания 

     Принцип действия

      Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен  до напряжения U0. Энергия, запасённая в конденсаторе составляет 
 
 

            При соединении конденсатора  с катушкой индуктивности ,в  цепи потечёт ток I, что вызовет  в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную  на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

     Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия колебательного контура EC = 0. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

      где L — индуктивность катушки, I0 — максимальное значение тока.

     После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением  другой полярности. Перезарядка будет  проходить до тех пор, пока магнитная  энергия катушки не перейдёт в  электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения − U0.

     В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно  пропорциональна потерям энергии  в контуре.

     В общем, описанные выше процесы в  параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличии от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

     Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные  контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют  другие особенности. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Математическое описание процессов

      Напряжение, возникающее в катушке при  изменении протекающего тока равно

      Аналогично  для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

      Поскольку всё возникающее в катушке  напряжение падает на конденсаторе, то uL = uC, а ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то iC = iL. Дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем

      Это уравнение гармонического осциллятора  с круговой частотой (иначе она называется собственной частотой гармонического осциллятора) Решением такого уравнения является

      где Ia — некая постоянная, называемая амплитудой колебаний,  — также  некоторая постоянная, называемая начальной  фазой. И, например, при начальных  условиях i = 0 решение сведётся к

      Решение может быть записано также в виде

      где Ia1 и Ia2 - некоторые константы, которые  связаны с амплитудой Ia и фазой  следующими отношениями 
 

      Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура 

     Колебательный контур может быть рассмотрен как  двуполюсник. Колебательный контур может быть рассмотрен как параллельное включение двух комплексных сопротивлений ёмкости и индуктивности. Комплексное сопротивление такого двуполюсника можно записать как

      где   i - мнимая единица. Для такого двухполюсника может быть определена т.н. характеристическая частота (она же резонансная частота), когда импеданс колебательного контура стремится к бесконечности (знаменатель дроби стремится к нулю). Эта частота равна

      и совпадает по значению с собственной  частотой колебательного контура. 

      Из  этого уравнения следует, что  на одной и той же частоте может  работать множество контуров с разными  величинами L и C, но с одинаковым произведением LC.