Спектральный анализ и синтез сигнала

2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов 

      Для упрощения методов решения задач  анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.

      Этот  процесс обосновывается понятием обобщенного  ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая  условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:

.

      Для определения  умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:

, для интервала [a;b] в котором  выполняются условия ортогональности.

Видно, что  .Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:

.

     Выделим конкретный вид функции  , для разложения в ряд сигнала . В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:

     

     Для определения ряда вычислим значение :

     

.

     

, так как  _.

     Таким образом, получим:

     

, где

     

  _.

     Графически  данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных  гармонических  составляющих.

     Полученное  выражение можно представить  в виде:

     

где ; _.

     Получили  вторую форму записи тригонометрического  ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.

     Найдем  комплексную форму ряда Фурье, для  этого воспользуемся формулами  Эйлера:

     

     или

, где

     Графически  спектр в этой форме представлен  на оси частот в диапазоне  .

     Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или  амплитудной форме – дискретный. Это значит, что в спектре имеются  составляющие с частотами   

       2.2 Спектральные характеристики непериодического сигнала 

     Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают  одиночный сигнал,  то для нахождения его спектра представим сигнал как  периодический с периодом . Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для :

     

.

     Анализ  полученного выражения показывает, что при  амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:

     

.

     Подставим полученное выражение в комплексный  ряд Фурье, получим:

     

.

     Окончательно  получим:

     

.

     Здесь - спектральная плотность, а само выражение – прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:

     

. 

Свойства  преобразования Фурье 

    Из  формул прямого и обратного преобразований Фурье,  очевидно, что если изменится  сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают  зависимость спектра измененного  сигнала, от спектра сигнала до изменений. 

    1) Свойство линейности преобразования  Фурье:

    

.

    

, т.е.

    

.

    Получили, что спектр суммы сигналов равен  сумме их спектров.

    2) Спектр сигнала сдвинутого во  времени:

    

.

    

.

    

.

    Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный  спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину  

    3) Изменение масштаба времени:

    

.

      т.е при расширении(сужении)  сигнала в несколько раз спектр  этого сигнала сужается(расширяется).

    4) Спектр смещения:

    

.

    

. 

    5) Спектр производной от сигнала:

    

.

    Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье:

    

.

    .

    Видим, что спектр производной от сигнала  равен спектру исходного сигнала  умноженного на , то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на

    6) Спектр интеграла сигнала:

    

.

    Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье:

    

.

    

.

    Видим, что спектр производной от сигнала  равен спектру исходного сигнала  деленного на .

    7) Спектр произведения двух сигналов:

    

.

    

.

    

.

    Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент  _.

    8) Свойство дуальности:

    

.

    

.

    Таким образом, если к какому-то сигналу  соответствует спектр , то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.

    9) Теорема о свёрке 2-х функций:

    

.

    

.

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Синтез  сигнала в полосе частот (0,50кГц) 

 

Рис. 8 

Синтез  сигнала в полосе частот (0,75кГц) 

 

Рис. 9 
 
 
 
 

Синтез  сигнала в полосе частот (0,100кГц) 

 

Рис. 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение 3 

При выполнении данной работы была написана программа на языке C Sharp.

Внешний вид: 

 

Рис. 11 

 

Рис. 12 
 
 
 
 
 

 

Рис. 13 

 

Рис. 14 

 

Рис. 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 
 

       В ходе выполнения данной работы, на конкретном примере, был произведен расчет спектра сигнала. C помощью прямого преобразования Фурье на каждом из интервалов функции исходного сигнала. Неоценимую помощь оказали свойства преобразования Фурье, а особенно свойства интегрирования и дифференцирования. Благодаря этим свойствам расчёт спектра выходного сигнала стал значительно легче.

       Основной  трудностью при выполнении курсового  проекта являлся расчёт синтеза  сигнала на основании его спектра, что было связано с громоздкостью  аналитического выражения для спектра  выходного сигнала, и следовательно, с трудностью расчёта его интеграла. Обычными методами интеграл рассчитать не удалось. Поэтому для этой цели была написана программа на языке  программирования C Sharp. В которой для расчета интеграла был использован один из численных методов, а именно метод с автоматическим выбором шага по заданной точности, достоинствами которого является простота реализации, высокая точность и надёжность выполнения кода.

             В ходе выполнения курсовой  работы, были использованы некоторые  программные приложения: MS Office 2007, MathCAD 14 и графическое приложение MS Pain. Расчет и построение некоторых графиков производились при помощи программного пакета MathCAD 14, оформление и редактирование отчёта о проделанной работе выполнялось при помощи приложений MS Office 2007 и графического редактора Paint. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы